Poissonfördelning

P som funktion av heltalen x för λ=m=1, 4 och 10.

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Fördelningens sannolikhetsfunktion är

${P(X=n) =} {{e^{-\lambda} \lambda^n} \over n!}$

Det är ekvivalent att skriva $X \in Po(\lambda)$ .

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är $\lambda$ .

Härledning [redigera]

Poissonfördelningen kan härledas med hjälp av binomialfördelningen.

Sannolikheten att få $n$ gynnsamma utfall där varje utfall har sannolikheten $p$ vid $N$ försök ges av binomialfördelningen:

$P_{p}(n|N) = {N(N-1) \cdots (N-n+1) \over n!} p^n (1-p)^{N-n}\quad (1)$

Definiera

$\lambda:=Np \Rightarrow p={\lambda \over N}$

(1) blir då

$P_{\lambda}(n|N) = {N(N-1) \cdots (N-n+1) \over n!} ({\lambda \over N})^n (1-{\lambda \over N})^{N-n}$

Vilket förenklas till

$P_{\lambda}(n|N) = {N(N-1) \cdots (N-n+1) \over N^n} {\lambda ^n \over n!}(1-{\lambda \over N})^{N} {(1-{\lambda \over N})^{-n}}\quad (2)$

Låt $N \to \infty$ i (2):

$P_{\lambda}(n|N) \to {1} \cdot {\lambda ^n \over n!}\cdot e^{-\lambda} \cdot 1 ={{e^{-\lambda} \lambda^n} \over n!}$

Vilket skulle bevisas.

Approximering [redigera]

Under villkoret att $n$ är stort kan binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen. Följande två tumregler används ofta:

Om $p < 0.1$ kan binomialfördelningen $Y \in Bin(n, p)$ approximeras med poissonfördelningen $Po(\lambda=np)$
Om $p>0.9$ kan $Y$ approximeras med $n-Z$ där $Z \in Po(\lambda=n(1-p))$ . $n$ är här antalet försök och $p$ sannolikheten att den givna händelsen skall inträffa.