Poissonfördelning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
P som funktion av heltalen x för λ=m=1, 4 och 10.

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Fördelningens sannolikhetsfunktion är

{P(X=n) =} {{e^{-\lambda} \lambda^n} \over n!}

Det är ekvivalent att skriva X \in Po(\lambda).

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är \lambda.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Poissonfördelningen kan härledas med hjälp av binomialfördelningen.

Sannolikheten att få n gynnsamma utfall där varje utfall har sannolikheten p vid N försök ges av binomialfördelningen:

P_{p}(n|N) = {N(N-1) \cdots (N-n+1) \over n!} p^n (1-p)^{N-n}\quad (1)

Definiera

\lambda:=Np \Rightarrow p={\lambda \over N}

(1) blir då

P_{\lambda}(n|N) = {N(N-1) \cdots (N-n+1) \over n!} ({\lambda \over N})^n (1-{\lambda \over N})^{N-n}

Vilket förenklas till

P_{\lambda}(n|N) = {N(N-1) \cdots (N-n+1) \over N^n} {\lambda ^n \over n!}(1-{\lambda \over N})^{N} {(1-{\lambda \over N})^{-n}}\quad (2)

Låt N \to \infty i (2):

P_{\lambda}(n|N) \to {1} \cdot {\lambda ^n \over n!}\cdot e^{-\lambda} \cdot 1 ={{e^{-\lambda} \lambda^n} \over n!}

Vilket skulle bevisas.

Approximering[redigera | redigera wikitext]

Under villkoret att n är stort kan binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen. Följande två tumregler används ofta:

  • Om p < 0.1 kan binomialfördelningen Y \in Bin(n, p) approximeras med poissonfördelningen Po(\lambda=np)
  • Om p>0.9 kan Y approximeras med n-Z där Z \in Po(\lambda=n(1-p)). n är här antalet försök och p sannolikheten att den givna händelsen skall inträffa.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.