Poissons ekvation

Poissons ekvation, en partiell differentialekvation. Dess allmänna form är

$\nabla^2 u=f$

där $\nabla^2$ är Laplaceoperatorn, och f är en godtycklig funktion. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs den

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=f$.

Laplaces ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation, med f=0.

Exempel

Ekvationen används till exempel inom elektrostatiken i formen

$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\varepsilon}$

Där V är den elektriska potentialen, $\varepsilon$ är permittiviteten hos mediet (som är konstant) och $\rho$ är volymdensiteten för fria laddningar.