Pol (matematik)

Gammafunktionens absolutvärde visar poler

En pol är inom komplex analys en isolerad singularitet med oändligt gränsvärde.

Definition

Låt U vara en öppen delmängd av den komplexa kroppen och låt funktionen $f:U\setminus\{a\} \to \C$, där a är en punkt i U, vara holomorf. Om det existerar en holomorf funktion $g:U \to \C$ sådan att

$f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}$

så sägs f ha en pol av ordning n i a. Om $n=1$ sägs polen vara en enkel pol.

Om $n=0$, sägs a ha en hävbar singularitet.

Exempel

För linjära bråk sker detta då nämnaren är lika med noll (om täljaren är skild från noll). Exempel:

$H\left(z\right) = \frac{1}{1-z}$

$H$ har en enkel pol i $z = 1$.

Signalteori

Inom signalteori och reglerteknik är poler (och nollställen) viktiga. Där beskriver man ofta ett system med överföringsfunktionen från dess insignals Laplacetransform till dess utsignals Laplacetransform. Systemets dynamik avgörs av polernas placering. Om ett system ska vara stabilt får det till exempel inte förekomma poler i högra halvplanet.

Se även

• Residy

Referenser

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw-Hill. sid. 127. ISBN 0-07-000657-1