Polylogaritmen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s} = z + {z^2 \over 2^s} + {z^3 \over 3^s} + \cdots \,.

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

1.s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:

\operatorname{Li}_{1}(z)  = -\ln(1-z)
\operatorname{Li}_{0}(z)  = {z \over 1-z}
\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}
\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}
\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}
\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,

och i allmänhet


\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left( z \,{\partial \over \partial z} \right)^n {z \over {1-z}} =

= \sum_{k=0}^n k! \,S(n\!+\!1, \,k\!+\!1) \left({z \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots) \,,

där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen .

2.

\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2
\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2
\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \,,

där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är


\operatorname{Li}_4(\tfrac12) = \tfrac1{360}\pi^4 - \tfrac1{24}(\ln 2)^4 + \tfrac1{24} \pi^2 (\ln 2)^2 - \tfrac12 \,\zeta(\bar3, \bar1) \,,

som innehåller den alternerande dubbelsumman \scriptstyle \zeta(\bar3, \bar1) ~= \,\sum_{m>n>0} \,(-1)^{m+n} m^{-3} n^{-1}. I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2

\operatorname{Li}_n(\tfrac12) = -\zeta(\bar1, \bar1, \left\{ 1 \right\}^{n-2}) \,,

där ζ(s1, ..., sk) är multipel-zetafunktionen, exempelvis

\operatorname{Li}_5(\tfrac12) = -\zeta(\bar1, \bar1, 1,1,1) \,.

3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att


\operatorname{Li}_s(e^{2 \pi i m/p}) = p^{-s} \sum_{k=1}^p 
e^{2 \pi i m k/p} \,\zeta(s, \tfrac {k}{p}) 
\qquad (m = 1, 2, \dots, p-1) \,,

där ζ är Hurwitzs zetafunktion.

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

För alla komplexa s och z gäller


\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + {\Gamma(1 \!-\! s, -\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}} + 2z \int_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t \,- \,t\ln z)} {(1+t^2)^{s/2} \,(e^{2\pi t}-1)} \,\mathrm{d}t.


Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]


\operatorname{Li}_s(1) = \zeta(s) \qquad (\textrm{Re}(s)>1) \,.

\operatorname{Li}_s(-1) = -\eta(s) \,,
och

\operatorname{Li}_s(\pm i) = -2^{-s} \,\eta(s) \pm i \,\beta(s) \,.
\operatorname{Li}_s(z) = \operatorname{Li}_s(0,z) \,.


\operatorname{Li}_s(z) = z \,\Phi(z,s,1) \,.

\operatorname{Li}_s(z) = {\Gamma(1 \!-\! s) \over (2\pi)^{1-s}} \left[i^{1-s} ~\zeta \!\left(1 \!-\! s, ~\frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) + i^{s-1} ~\zeta \!\left(1 \!-\! s, ~\frac{1}{2} - {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) \right] ,

utom då s=0,1,2,...


\operatorname{Li}_{n}(e^{2\pi i x}) + (-1)^n \,\operatorname{Li}_{n}(e^{-2\pi i x}) = -{(2\pi i)^n \over n!} \,B_n(x) \,,

där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.


\chi_s(z) = \tfrac {1}{2} \left[ \operatorname{Li}_s(z) - \operatorname{Li}_s(-z) \right] .

\operatorname{Li}_n(z) = z \;_{n+1}F_{n} (1,1,\dots,1; \,2,2,\dots,2; \,z) \qquad (n = 0,1,2,\ldots) ~

\operatorname{Li}_{-n}(z) = z \;_{n}F_{n-1} (2,2,\dots,2; \,1,1,\dots,1; \,z) \qquad (n = 1,2,3,\ldots) ~.

Ti_s(z) = {1 \over 2i} \left[ \operatorname{Li}_s(i z) - \operatorname{Li}_s(-i z) \right] .
Av det här följer:

Ti_0(z) = {z \over 1+z^2}, \quad Ti_1(z) = \arctan z, \quad Ti_2(z) = \int_0^z {\arctan t \over t} \,\mathrm{d}t,

\quad \ldots~, \quad Ti_{n+1}(z) = \int_0^z {Ti_n(t) \over t} \,\mathrm{d}t \,.

Gränsvärden[redigera | redigera wikitext]


\lim_{|z|\rightarrow 0} \operatorname{Li}_s(z) = z

\lim_{|\mu|\rightarrow 0} \operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 \!-\! s) \,(-\mu)^{s-1} \qquad (\mathrm{Re}(s) < 1)

\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_s(-e^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)}
\qquad (s \ne -1, -2, -3, \ldots)

\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_{-n}(e^\mu) = -(-1)^n \,e^{-\mu} \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots)

\lim_{\mathrm{Re}(s) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_s(z) = z

\lim_{\mathrm{Re}(s) \rightarrow -\infty} \operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 \!-\! s) \,(-\mu)^{s-1} \qquad (-\pi < \mathrm{Im}(\mu) < \pi)

\lim_{\mathrm{Re}(s) \rightarrow -\infty} \operatorname{Li}_s(-e^\mu) = \Gamma(1 \!-\! s) \left[ (-\mu - i\pi)^{s-1} + (-\mu + i\pi)^{s-1} \right] \qquad (\mathrm{Im}(\mu) = 0)

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Definiera \scriptstyle \rho\, = \,\tfrac{1}{2} (\sqrt{5}-1). Då gäller


\operatorname{Li}_2(\rho^6) = 4 \operatorname{Li}_2(\rho^3) + 3 \operatorname{Li}_2(\rho^2) - 6 \operatorname{Li}_2(\rho) + \tfrac {7}{30} \pi^2

och


\operatorname{Li}_2(\rho) = \tfrac{1}{10} \pi^2 - \ln^2\rho.


Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polylogarithm, 4 november 2013.