Polynomdivision

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Polynomdivision är ett sätt att förenkla och omskriva ett rationellt uttryck.

 { f(x) \over g(x) }

där f(x) och g(x) är polynom, på formen

 {f(x) \over g(x)} = q(x) + { r(x) \over g(x) }

där q(x) kallas kvotpolynom och r(x) kallas restpolynom. Detta kan göras med så kallade polynomdivisionsalgoritmen eller liggande stolen. En polynomdivision följs ofta av en partialbråksuppdelning av resten för att ytterligare förenkla uttrycket.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Andragradspolynom[redigera | redigera wikitext]

Polynomdivision med hjälp av 'liggande stolen'. Som exempel väljer vi att utföra divisionen

\frac{x^2+7x-18}{x+9}
  1. Rita upp stolen
  2. Skriv ut nämnare och täljare
  3. x2 delat med x är x och blir det första vi skriver i "kvotfältet"
  4. Sedan tar vi kvoten vi har multiplicerat med nämnaren och subtraherar detta från täljaren
  5. Vi får då en "ny" täljare som vi gör samma sak med
  6. Slutligen får vi 0 i "täljarfältet" och x - 2 i "kvotfältet": \frac{x^2+7x-18}{x+9} = x-2

(för x\neq-9. För x=-9 är kvoten odefinierad).

Detta kan kontrolleras genom att multiplicera kvoten med nämnaren och få fram täljaren:

(x-2)(x+9)= x \cdot x + x \cdot 9 + (-2) \cdot x + (-2) \cdot 9 =
= x^2 + 9x - 2x -18 = x^2 + 7x - 18

Tredjegradspolynom[redigera | redigera wikitext]

Polynomdivision av

\frac{x^3-9x+10}{x-2}
Polynomdivisionen \frac{x^3-9x+10}{x-2}
  1. Välj termen av högst grad i täljaren (x3), gör samma sak med nämnaren (x)
  2. Dividera dessa: x3/x = x2, vilket är den första delen av kvoten (som skrivs överst).
  3. Därefter multipliceras resultatet i steg 2 med hela nämnaren: x^2(x-2)=x^3-2x^2
  4. Talet från steg 3 subtraheras från täljaren: x^3-9x+10-(x^3-2x^2)=2x^2-9x+10
  • Steg 1-4 repeteras tills endast ett heltal återstår:
  1. Högsta graden i den resterande täljaren: 2x^2 Högsta graden i nämnaren är precis som tidigare: x
  2. Dividera talen steget innan: \frac{2x^2}{x}=2x (addera detta tal till den slutgiltiga kvoten)
  3. Multiplicera kvoten från steget innan med nämnaren: 2x(x-2)=2x^2-4x
  4. Resultatet från steget innan subtraheras från kvarstående täljare: 2x^2-9x+10-(2x^2-4x)=-5x+10
Sista iterationen:
  1. Högsta graden i den resterande täljaren: -5x. Högsta graden i nämnaren är precis som tidigare: x
  2. Dividera talen steget innan: -5x/x=-5 (addera detta tal till den slutgiltiga kvoten)
  3. Multiplicera kvoten från steget innan med nämnaren: -5(x-2)=-5x+10
  4. Resultatet från steget innan subtraheras från kvarstående täljare: -5x+10-(-5x+10)=0;

Resten blir 0 och divisionen är klar.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.