Potensserie

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \dots$

där koefficienterna a_n, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots$

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie med x fixerad till 10.

Egenskaper

För en potensserie $f(x)=\sum _{k=0} ^\infty a_k x^k$ gäller att man kan för x innanför konvergensradien deriveras och integreras termvis enligt

$\int \left( \sum _{k=0} ^\infty a_k x^k \right) dx = \sum _{k=0} ^\infty \frac{a_{k} x^{k+1} }{k+1}+C$

$\frac{d}{dx} \left( \sum _{k=0} ^\infty a_k x^k \right) = \sum_{k=0} ^\infty k a_k x^{k-1}$

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt (se likformig konvergens).

Exempel

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

$f(x) = 3 + 2x + 1x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots$

eller runt c=1 som

$f(x) = 6 + 4(x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \dots$

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

som är giltig för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \dots$

Koefficienterna i en potensserie a_n får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

$1 + \sin(x)x + \sin(2x)x^2 + \sin(3x)x^3 + \dots$