Primideal

Ett primideal är inom matematik, specifikt ringteori, ett ideal som delar många egenskaper med primtalen i ringen av heltal.

Definition

Ett ideal P i en kommutativ ring R är ett primideal om det är ett äkta ideal (dvs P är skilt från R) och det uppfyller:

$ab\in I\implies a\in I\or b\in I$

för alla a och b i R.

Om man tar bort kravet att ringen R ska vara kommutativ gäller att P är ett primideal om det är ett äkta ideal och för ideal A och B sådana att

$A \cdot B \subseteq P$

gäller att antingen $A \subset P$ eller $B \subset P$.

Exempel

• I ringen av heltal, $\Z$, är ett primideal antingen nollidealet $\{0\}$ eller på formen $p\Z$ (alla multiplar av p), där p är ett primtal.
• Alla maximala ideal är primideal. Det omvända gäller dock i allmänhet inte.

Egenskaper

• Om R är en kommutativ ring med etta och P är ett ideal i R är P ett primideal om och endast om kvotringen R/P är ett integritetsområde.
• Varje kommutativ ring med etta har minst ett primideal, en direkt följd av Krulls sats.
• Urbilden av ett primideal för en ringhomomorfi är ett primideal.

Referenser

• Atiyah, Michael Francis; I.G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley 
• Lam, T.Y. (1991). A First Course in Noncommutative Rings. Springer Verlag. ISBN 0-387-97523-3