Primideal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett primideal är ett ideal PR i en kommutativ ring R, sådant att:

ab\in P\implies a\in P\or b\in P

för alla a och b i R.

Om ringen R inte är kommutativ så är P ett primideal, om det är ett äkta ideal och om det för ideal A och B sådana att

A \cdot B \subseteq P

gäller att antingen A \subset P eller B \subset P.

Samband mellan primideal och primelement[redigera | redigera wikitext]

I en heltalsring H, finns en påtaglig relation mellan primideal och primelement.

Ett ideal skilt från nollidealet, P = {pn \quad  \quad ;  \quad   n\in H}, är ett primideal om och endast om p är ett primelement i  H .

Bevis: Med utgångspunkt ifrån att P är ett primideal och skilt från nollidealet följer direkt, att p ≠ 0 och att p ej är inverterbart. Om p|ab så tillhör ab P, vilket medför att a eller b tillhör P. Detta är liktydigt med att p|a eller p|b och således att p är ett primelement.

Omvänt fås att om p är ett primelement så följer, eftersom p ≠ 0 och p ej är inverterbart, att P varken är lika med nollidealet eller H. Om ab tillhör P så är det liktydigt med att p|ab och härav följer att p|a eller p|b, det vill säga att a eller b tillhör P. Alltså är P ett primideal.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • I ringen av heltal, \Z, är ett primideal antingen nollidealet \{0\} eller på formen p\Z (alla multiplar av p), där p är ett primtal.
  • Ett maximalt ideal är ett primideal. Det omvända gäller dock inte.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Om R är en kommutativ ring med etta och P är ett ideal i R så är P ett primideal om och endast om kvotringen R/P är ett integritetsområde.
  • Varje kommutativ ring med enhet har minst ett primideal, en direkt följd av Krulls sats.
  • Urbilden av ett primideal för en ringhomomorfi är ett primideal.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • McCoy, N.H. Rings and Ideals, Carus Monograph Series, No. 8. Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1948.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Atiyah, Michael Francis; I.G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley 
  • Lam, T.Y. (1991). A First Course in Noncommutative Rings. Springer Verlag. ISBN 0-387-97523-3