Primtalspotens

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en primtalspotens, även kallad primpotens, en potens, där basen är ett primtal och exponenten ett heltal ≥ 0.

Exempel på primtalspotenser är: 1 = 20, 5 = 51, 9 = 32 och 16 = 24.

Eftersom talet 1 = p0, inte har någon entydig primtalsbas, så anses det ibland inte vara en primtalspotens.


De första primtalspotenserna är:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, … (talföljd A000961 i OEIS)

Primtalspotenserna är, förutom talet 1, de positiva heltal som är delbara med exakt ett primtal. Primtalspotenser och relaterade begrepp kallas även primära tal, som i primärdekompositionen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Algebraiska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Varje primtalspotens (utom tvåpotens) har en primitiv rot, alltså är den multiplikativa gruppen av heltal modulo pn (eller ekvivalent, enhetsgruppen i ringen Z/pnZ) cyklisk.

Antalet element i en ändlig kropp är alltid en primtalspotens och omvänt hålls varje primtalspotens som antalet element i någon ändlig kropp (som är unik upp till isomorfi.)

Kombinatoriska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

En egenskap hos primtalspotenser som ofta används för analytisk talteori är att mängden av primtalspotenser som inte är primtal är en liten mängd i den meningen att den oändliga summan av deras reciprokkonvergenta. Även primtalen utgör en stor mängd.

Delbarhet-relaterade egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Eulers fi-funktion (φ) och sigmafunktionen0) och (σ1) av en primtalspotens beräknas med formlerna:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \left(1 - \frac{1}{p}\right),
\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,
\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{n+1} - 1}{p - 1}.

Alla primtalspotenser är defekta tal. En primtalspotens pn är ett n nästan-primtal. Det är inte känt om en primtalspotens pn kan vara ett vänskapligt tal. Om det finns ett sådant tal, sedan pn, måste det vara större än 101500 och n måste vara större än 1400.

Inom populärkulturen[redigera | redigera wikitext]

I filmen Cube från 1997 spelar primtalspotenser en viktig roll, i egenskap av indikatorer på dödliga faror i en labyrintliknande kubstruktur.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Prime power, 16 oktober 2013.
  • Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.