Principalgren

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Illustration av principalgrenen av den komplexa logaritmen. Kulören anger argumentet och mättnaden absolutbeloppet av Log z i punkten. Observera diskontinuiteten längs med negativa realaxeln.

En principalgren är grenen av en komplex funktion vars argument antar värdena i intervallet \left]-\pi,\pi\right]. Detta värde på argumentet kallas principalargument och betecknas med Arg z (stort A). Principalgrenen av den (flervärda) logaritmiska funktionen log z skrivs Log z och har värdet Log(z) = ln |z| + i Arg z med grensnittet i den negativa realaxeln. Log z är alltså diskontinuerlig, eftersom värdet "hoppar" med 2\pi iz passerar negativa realaxeln. Detta kan bekräftas genom att räkna på gränsvärdet då z = x + iy närmar sig -1 (eller någon annan punkt på negativa realaxeln):

\lim_{z \to -1, y>0} \operatorname{Log}(z) = \lim_{z \to -1, y >0} \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = 0 + i\pi

och

\lim_{z \to -1, y<0} \operatorname{Log}(z) = \lim_{z \to -1, y < 0} \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = 0 - i\pi