Pseudometriskt rum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum, doch har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ett pseudometriskt rum är ett par  (X, d) där  X är en mängd och  d är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för  x, y \in X :

d(x,y) \geq 0
d(x, x) = 0\,
d(x, y) = d(y, x)\, (symmetri)
d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte  d(x, y) = 0 att  x = y , vilket är fallet för en vanlig metrik.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum  X och utifrån detta skapar ett nytt rum  \mathcal{F}(X) som består av alla funktioner  f:X \to \mathbb{R} . Om vi väljer ett speciellt element  x_0 \in X , kan vi få en pseudometrik på  \mathcal{F}(X) genom:

d(f, g) = |f(x_0) - g(x_0)|\,.

där  f, g \in \mathcal{F}(X).

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, p genom:

d(x, y) = p(x-y)\,

Metriska rum från pseudometriska rum[redigera | redigera wikitext]

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, \sim, på X genom:

x \sim y\, om d(x,y)=0\,

och låt X^* vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

d^*([x],[y]) = d(x,y)\,

(X^*, d^*) är ett metriskt rum.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är L^p-rummet när L^p-normen

\| f \|_p := \left({\int |f|^p}\right)^{1/p}

för f \in L^p formar en pseudometrik

d(f,g) := \|f-g\|_p

för f,g \in L^p. Vi definiera L^p-rummet (med samma symbol) så att det har metriken d^*\, för ekvivalensklasser.

Se även[redigera | redigera wikitext]