Pythagoras sats

a²+b²=c²

Pythagoras sats anger sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Den grekiske matematikern Pythagoras brukar tillskrivas det första beviset för satsen, men den var troligen känd bland annat i Babylon sedan tidigare. Satsen är en av matematikens mest kända bland den breda allmänheten.

Pythagoras sats kan formuleras som

Kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är den motstående sidan till den räta vinkeln. Kateter är benämningen på de två övriga sidorna vilka bildar den räta vinkeln.

Med algebra kan Pythagoras sats formuleras som

Låt a, b och c vara längderna hos de tre sidorna i en triangel, varav c är den längsta. Mellan längderna råder sambandet

$\ a^2 + b^2 = c^2$

om, och endast om, triangeln är rätvinklig.

Alternativ formulering

Pythagoras sats kan ses som ett specialfall av Cosinussatsen, vilken gäller för alla trianglar:

Låt a, b och c vara längderna hos de tre sidorna i en triangel. Låt $\theta$ vara vinkeln mellan två av triangelns sidor, a och b. Då är sambandet mellan triangelns sidor och vinkeln $\theta$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \, \cos \theta$

Om vinkeln $\theta$ är lika med 90 grader är $\cos \theta = 0$ varav Phytagoras sats följer (för en förklaring av funktionen $\cos$ se cosinus).

Egyptiska trianglar och pythagoreiska tripplar

En egyptisk triangel är en rätvinklig triangel vars sidor har längder som förhåller sig till varandra som talen 3, 4 och 5: De två kateterna har längderna $a=3n$ och $b=4n$ och hypotenusan har längden $5n$, där $n$ är ett godtyckligt positivt heltal. Vi noterar att Pythagoras samband $a^2+b^2=c^2$ gäller, eftersom talen 3, 4 och 5 är sidlängderna i en egyptisk triangel:

$\ a^2 + b^2 = n^2(3^2+4^2) = 25n^2 = (5n)^2 = c^2.$

Tre positiva heltal, a, b och c, utgör en pythagoreisk trippel, (a,b,c), om de uppfyller Pythagoras samband $a^2+b^2=c^2.$ Vi vet att sidlängderna i egyptiska trianglar utgör pythagoreiska tripplar, men det finns även pythagoreiska tripplar som inte är sidlängder i egyptiska trianglar. Följande är exempel på pythagoreiska tripplar som ej är associerade med egyptiska trianglar: (5, 12, 13), (8, 15, 17) och (7, 24, 25).

Man kan bevisa att det finns lika många pythagoreiska tripplar som det finns positiva heltal.

Bevis av Pythagoras sats

Animation av ett geometriskt bevis.

Det finns en bok av E.S. Loomis med den engelska titeln The Pythagorean Proposition som innehåller 367 olika bevis av Pythagoras sats.

Här presenteras ett av de mest eleganta geometriska bevisen.

Nedanstående bild visar en kvadrat, vars sida är a + b längdenheter lång. Genom att dela kvadraten i två olika pussel – inom matematiken säger man att kvadraten partitioneras på två olika sätt – kan man bevisa Pythagoras sats.

Beviset består i att notera att de två pusslen båda innehåller samma blå triangel, samma röda triangel, samma gröna triangel och samma gula triangel; De två små rosa kvadraterna i det vänstra pusslet måste då ha samma area tillsammans som den stora rosa kvadraten i det högra pusslet:

$a^2 + b^2 = c^2.\,$

Pythagoras sats i inre produktrum

Inom linjär algebra kan Pythagoras sats generaliseras till trianglar i inre produktrum av godtycklig dimensionalitet. Ett inre produktrum är ett vektorrum som besitter en inre produkt; Den inre produkten mäter 'vinklar' mellan vektorrummets element. Ett inre produktrum är även ett normerat rum, vars norm är given av den inre produkten:

$\Vert u \Vert = \sqrt{\langle u,u \rangle}.$

Normen mäter 'längden' hos vektorrummets element.

Om u och v är två vektorer i ett inre produktrum, V, så är deras summa också ett element i samma rum:

$u,v \in V \quad \Longrightarrow \quad u+v \in V$

Vektorerna u, v och u + v bildar tillsammans en 'triangel' i vektorrummet V; Triangelns 'längsta' sida är

$c = \Vert u+v \Vert$

och de 'kortaste' sidorna är

$a = \Vert u \Vert, \quad b = \Vert v \Vert$

Sambandet mellan normen och den inre produkten låter oss uttrycka normen av summan u + v enligt

$\Vert u+v \Vert^2 = \langle u+v, u+v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle$

Med hjälp av sambanden ovan erhålls ett bevis av Pythagoras sats:

$\ c^2 = a^2 + 2 \, \langle u, v \rangle + b^2 = a^2 + 0 + b^2$

då den inre produkten av två ortogonala vektorer är noll.

Detta kan också formuleras som

Vektorerna u och v är ortogonala om, och endast om, normerna av vektorerna u, v och u + v är relaterade enligt Pythagoras samband:

$\langle u, v \rangle = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2$

Se även

• Trigonometriska ettan
• Cosinussatsen
• Fermats stora sats (andra potenser än 2)