q-Pochhammersymbolen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Q-Pochhammersymbolen är en q-analogi av Pochhammersymbolen. Den definieras som

(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})

och

(a;q)_0 = 1.

Q-Pochhammersymbolen är väldigt viktig inom q-analogteori och q-serier.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

q-Pochhammersymbolen kan skrivas som en oändlig produkt:

(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty},

och på det viset definieras för negativa heltal n. Om n är positiv är då

(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}

och

(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.

q-Pochhammersymbolen förekommer i flera q-serieidentiteter:

(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n

och

\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},

som är båda specialfall av q-binomialsatsen:

\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.

Relation till andra q-funktioner[redigera | redigera wikitext]

Eftersom

\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n

kan q-analogin av n definieras som

[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}.

Med hjälp av det här går det att definiera q-analogin av fakulteten, q-fakulteten, som

\big[n]_q! =\prod_{k=1}^n [k]_q
= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q
=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}
=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2})  (1+q+\cdots + q^{n-1})
=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.

Med hjälp av q-fakulteten kan man definiera q-binomialkoefficienterna, även kända som Gaussiska koefficienterna, Gaussiska polynomen samt Gaussiska binomialkoefficienterna, som


\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.

Man kan lätt kontrollera att


\begin{bmatrix}
n+1\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
+
q^{n-k+1}
\begin{bmatrix}
n\\
k-1
\end{bmatrix}_q.

q-Analogin av gammafunktionen, q-gammafunktionen, definieras som

\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}.

Den satisfierar identiteterna

\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)\,

för alla x och

\Gamma_q(n+1)=[n]_q!\frac{}{}.

för alla icke-negativa heltal n.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Q-Pochhammer symbol, 16 november 2013.