Radon-Nikodyms sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Radon-Nikodyms sats är ett resultat inom integrationsteori som säger att om (X,Σ) är en σ-algebra, μ är ett \sigma-ändligt mått på (X,Σ) och v är ett annat mått på X som uppfyller att \nu(A) = 0 för alla mätbara mängder A sådana att \mu(A)=0 då finns en funktion mätbar funktion med värdemängd i [0,∞) f sådan att

\nu(E) = \int_{E} f \ d\mu

för alla mätbara mängder E.

Terminologi och notation[redigera | redigera wikitext]

Om måttet v uppfyller att  \nu(A)=0 närhelst \mu(A) = 0 sägs det vara absolutkontinuerligt med avseende på μ. Detta kan också skrivas ν ≪ μ. Slutsatsen i Radon-Nikodyms sats kan uttryckas som att  d\nu = f \ d\mu för någon funktion f. Funktionen f är inte i allmänhet entydigt bestämd men två olika val av f måste vara lika nästan överallt.

Funktionen f kallas ofta för Radon-Nikodym-derivatan av v med avseende på μ och kan skrivas \frac{d\nu}{d\mu}. (Formellt sett är det en klass av funktioner man betecknar på detta vis vars element parvis skiljer sig åt på en nollmängd.)

Radon-Nikodym-derivatans egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Radon-Nikodym-derivatan har kopplingar till den vanliga derivatan och delar flera av dess egenskaper.

  • Om ν ≪ μ ≪ λ så gäller att
 \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}.
  • Om ν ≪ λ och μ ≪ λ så gäller att
 \frac{d(\nu+\mu)}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}.
  • Om μ ≪ λ och g är en μ-integrerbar funktion gäller att
 \int_X g\,d\mu = \int_X g\frac{d\mu}{d\lambda}\,d\lambda.
  • Om μ ≪ ν ochd ν ≪ μ, så gäller att
 \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.


Antagandet om σ-ändlighet[redigera | redigera wikitext]

Radon-Nikodyms sats är inte sann i allmänhet utan antagandet om att μ är σ-ändlig. Låt nämligen μ vara kardinalitetmåttet på de reella talen och låt m vara det vanliga Lebesgue-måttet. m är absolut-kontinuerligt med avseende på μ men det finns ingen funktion f så att

 m(A) = \int_A f \ d\mu

för alla mätbara mängder A.


Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.