Radonmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Radonmått är inom matematiken viktig typ av mått i topologiska rum. En intuitiv återgivning för Radonmått är att den mäter storlek av mängder. De viktigaste Radonmåtten är Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Haarmåttet.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt (X,\mathcal{T}) vara ett topologiskt rum. Borelmåttet \mu\, i X \, är ett Radonmått, om

Om (X,\mathcal{T}) = (\R^n,\mathcal{T}_{|\cdot|}) är ett Borelmått så är \mu\, i \R^n \, ett Radonmått om och endast om \mu\, är ett lokalt ändligt mått, dvs

för alla x \in \R^n existerar r_x > 0\, så att \mu(B(x,r)) < \infty för alla 0 < r \leq r_x.

Applikationer[redigera | redigera wikitext]

Man behöver Radonmåttet i funktionalanalys och geometrisk måtteori.

Karakterisation med funktionaler[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Riesz representationssats.

Om (X,\mathcal{T}) är ett lokalt kompakt Hausdorffrum, kan man karakterisera varje Radonmått i X\, med funktionaler. Man kan visa att

F : \mathcal{C}_c (X) \rightarrow \R

är en positiv linjär funktional om och endast om där finns ett Radonmått \mu\, i X\, så att

F(f) = \int_X f \, d\mu

för alla f \in \mathcal{C}_c (X). I litteraturen kallas ofta positiva linjära funktionaler Radonmått.

Hausdorffdimension[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Frostmans lemma.

Om (X,\mathcal{T}) = (\R^n,\mathcal{T}_{|\cdot|}) kan man karakterisera Hausdorffdimensionen för kompakt mängder med Radonmått. Låt K\subset \R^n vara en kompakt mängd och s > 0\,. Man kan visa att

\mathcal{H}^s(K) > 0\,

om och endast om det finns ett Radonmått \mu\, i \R^n\, så att

\operatorname{supp}(\mu )\subset K, \mu(K) > 0\, och \mu (B(x,r))\leq c_\mu r^s

för alla x\in \R^n och r > 0\, där c_\mu > 0\,.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.