Ramanujans thetafunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ramanujans thetafunktion är en generalisering av Jacobis thetafunktion. Funktionen är uppkallad efter Srinivasa Ramanujan.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ramanujans thetafunktion definieras som

f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty
a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}

då |ab| < 1. Jacobis trippelprodukt tar då formen

f(a,b)=f(b,a) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty

där (a;q)_n är q-Pochhammersymbolen. Tre viktiga specialfall av Ramanujans thetafunktion är

f(q,q)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} = 
{(-q;q^2)_\infty^2 (q^2;q^2)_\infty}

och

f(q,q^3)=\sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2} = 
{(q^2;q^2)_\infty}{(-q; q)_\infty}

och

f(-q):=f(-q,-q^2) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = 
(q;q)_\infty

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]


\varphi\left(e^{-\pi} \right) = \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}

\varphi\left(e^{-2\pi} \right) = \frac{\sqrt[4]{6\pi+4\sqrt2\pi}}{2\Gamma(\frac{3}{4})}

\varphi\left(e^{-3\pi}\right) = \frac{\sqrt[4]{27\pi+18\sqrt3\pi}}{3\Gamma(\frac{3}{4})}

\varphi\left(e^{-4\pi}\right) =\frac{\sqrt[4]{8\pi}+2\sqrt[4]{\pi}}{4\Gamma(\frac{3}{4})}

\varphi\left(e^{-5\pi} \right) =\frac{\sqrt[4]{225\pi+ 100\sqrt5 \pi}}{5\Gamma(\frac{3}{4})}

\varphi\left(e^{-6\pi}\right) = \frac{\sqrt[3]{3\sqrt{2}+3\sqrt[4]{3}+2\sqrt{3}-\sqrt[4]{27}+\sqrt[4]{1728}-4}\cdot \sqrt[8]{243{\pi}^2}}{6\sqrt[6]{1+\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3}{\Gamma(\frac{3}{4})}}

Referenser[redigera | redigera wikitext]