Randvinkelsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Randvinklar och medelpunktsvinklel
Linjerna bildar vinkeln
\scriptstyle{\theta=\frac{b_1+b_2}{d}}
där d är cirkelns diameter

Enligt randvinkelsatsen (periferivinkelsatsen) är medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge dubbelt så stor som en randvinkel till samma båge.

Medelpunktsvinkeln är en vinkel som bildas av två punkter på en cirkels periferi och vars spets sammanfaller med cirkelns medelpunkt.

En randvinkel (eller periferivinkel) bildas av ändpunkterna till en given cirkelbåge och av en punkt på cirkelns rand som inte tillhör den givna cirkelbågen.

Allmänt gäller för två linjer som skär varandra i det inre, eller på randen, av en cirkel med diametern d, att de bildar vinkeln

 \theta = \frac{b}{d}

där b är den sammanlagda längden av de bågar som linjerna skär av i de områden där vinkeln mäts. Av detta följer randvinkelsatsen som ett specialfall, då linjer vars skärningspunkt ligger på randen skär av en båge medan linjer som skär varandra i medelpunkten skär av två bågar. Om bågarna antas vara lika långa följer att randvinkeln är hälften så stor som medelpunktsvinkeln.

Ett viktigt specialfall av randvinkelsatsen är då medelpunktsvinkeln är en rak vinkel (180 grader) och därmed randvinkeln en rät vinkel. Enligt sägnen offrade Thales 100 oxar till gudarna när han gjorde denna upptäckt. Specialfallet är ett korollarium, som innebär att en rätvinklig triangels omskrivna cirkels medelpunkt ligger på hypotenusan.

Ett vanligt bevis för randvinkelsatsen är en tillämpning av Euklides första kongruensfall och yttervinkelsatsen, i vilken parallellaxiomet spelar en avgörande roll. Därmed gäller inte randvinkelsatsen i icke-euklidisk geometri.

En viktig konsekvens av randvinkelsatsen är kordasatsen som är en sats ur likformighetsgeometrin, i likhet med till exempel transversalsatsen och topptriangelsatsen.