Rationell funktion

Grafen av den rationella funktionen $y = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}$

En rationell funktion är inom matematiken en funktion som är en kvot mellan två polynom.

Definition

En funktion p(x) av en variabel x är en rationell funktion om den kan skrivas som

$p(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

där f och g är polynom och g är skild från nollfunktionen. Den största definitionsmängden för en rationell funktion är mängden av alla värden för vilka g är nollskild.

En funktion som inte är rationell, det vill säga inte kan uttryckas som en kvot mellan två polynom, kallas för en irrationell funktion.

Om f har ett högre gradtal än g kan den rationella funktionen skrivas på formen

$\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}$

där r har ett lägre gradtal än g och vilket kan åstadkommas genom polynomdivision.

Ett tredje sätt att skriva en rationell funktion är genom partialbråk.

Användning

I komplex analys ses rationella funktioner som avbildningar mellan Riemannsfären och specialfallet då båda polynomen i funktionen är linjära kallas för Möbiusavbildning.

Inom abstrakt algebra spelar mängden av alla rationella funktioner över en kropp roll som fraktionskroppen till polynomringen över kroppen.

Asymptoter

När man undersöker en rationell funktion är, förutom derivatans nollställen, även nämnarens nollställen intressanta. Eftersom nämnaren inte får vara noll är de x som gör nämnaren till noll viktiga att undersöka. Dessa x tillhör inte definitionsmängden, utan här har funktionen en lodrät asymptot. För att kunna göra en bra analys måste man jämföra gradena på polynomen $f(x)$ och $g(x)$

Vi ska undersöka de tre möjliga fallen:

Fall 1

Grad $f(x)<$ Grad $g(x)$ Funktionen har asymptoterna x = a om $g(a) = 0$ och den vågräta asymptoten $y = 0$ Att hitta den vågräta asymptoten görs lättast genom att dividera med den term som har högst grad i både täljare och nämnare och låta x → $\infty$

Fall 2

Grad $f(x)=$ Grad $g(x)$ Funktionen har de lodräta asymptoterna $x = a$ om $g(a) = 0$ och den vågräta asymptoten $y = c$ där c är en konstant. Här gör man samma sak som i Fall 1 och förlänger bråket med 1 delat med högstagradstermen i både täljare och nämnare för att sedan låta x → $\infty$

Fall 3

Grad $f(x)>$ Grad $g(x)$ De lodräta asymptoterna erhålls som tidigare genom att sätta nämnaren till noll. I det fall då Grad $f(x)=$ Grad $g(x) + 1$ finns det ytterligare en sned asymptot som är sned. Denna asymptots ekvation bestäms lättast genom polynomdivision av $f(x)$ med $g(x)$. Och sedan låta $x$ → $\infty$. $q(x)$ är alltså den sneda asymptoetns ekvation. Det går bra att använda metoden för division av polynom även i fall 2.

Exempel

Vi använder exemplet i bilden till höger i början av artikeln:

$\frac{x^2-3x-2}{x^2-4}.$

De lodräta asymptoterna finns i $x =\pm 2.$

Hitta de vågräta asymtoterna genom att låta x gå mot oändligheten. Dividera med högsta gradstermen i både täljare och nämnare.

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x - 2}{x^2-4} = \lim_{x \to \infty} \frac {1 - \frac {3}{x} - \frac {2}{x^2}}{1-\frac {4}{x^2}} = 1$

Den vågräta asymptoten är alltså y = 1.

Exempel 2

$\frac{x^2-3x-2}{x^2-4}$

polynomdivision ger funktionen

$\frac{x^2-3x-2}{x^2-4} = 1 + \frac {2- 3x}{x^2-4}.$

När x går mot oändligheten går funktionen mot sin asymptot:

$\lim_{x \to \infty} 1 + \frac {2-3x}{x^2-4} = 1$

så den vågräta asymptoten är y = 1.