Reella tal

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Reell)
Hoppa till: navigering, sök

De reella talen är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen \mathbb{R}.

De reella talen skrivs ofta som avkortade decimalutvecklingar, det vill säga som approximationer, till exempel 3,3333..., 1,4142... där "..." indikerar att flera siffror följer för en mera precis bestämning av talet.[1]

De naturliga talen (icke-negativa heltal, mängden \mathbb{N}) är en delmängd av de reella talen där decimaldelen är noll.

De rationella talen (bråktalen, mängden \mathbb{Q}) är en delmängd av de reella talen, där decimalföljden efter ett tag börjar följa ett periodiskt mönster. Några exempel är 1/3 = 0,333..., 1/11 = 0,09090909..., 2/7 = 0,285714285714.., 95/14 = 6,7857142857142... . De kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella tal.

Exempel på reella tal är 0, 1 (naturliga), 1/2 (rationellt), \sqrt{2} (irrationellt, algebraiskt), e, \pi (irrationella och transcendenta).

[2]

Definition[redigera | redigera wikitext]

Med \mathbb{R}^n avses mängden av alla n-tiplar

x=(x_1, x_2, ..., x_n)

av reella tal. Vi skriver x \in \mathbb{R}^n. Med \mathbb{R} avses \mathbb{R}^1.

\mathbb{R}^1 kan geometriskt tolkas som en punkt på en linje, \mathbb{R}^2 en punkt i planet och \mathbb{R}^3 en punkt i rummet. Med föregående beteckningar kan vi skriva:

(x_1) \in \mathbb{R}^1
(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2
(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3

För n>3 är det svårt att beskriva \mathbb{R}^n geometriskt.

Operationer[redigera | redigera wikitext]

Följande operationer är definierade för vektorer x, y \in \mathbb{R}^n.

Addition. x+y=(x_1+y_1, ..., x_n+y_n).

Skalärmultiplikation. Om \lambda \in \mathbb{R}^1 gäller \lambda \cdot x=(\lambda \cdot x_1, ..., \lambda \cdot x_n).

Multiplikation. x \cdot y =x_1 \cdot y_1 + ... +x_n \cdot y_n.

Längden. Längden av x är |x|=\sqrt{x \cdot x}=\sqrt{x_{1}^2+...+x_{n}^2}.

Avstånd. Avstånd mellan x och y är |x-y|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2}.

Vinkel. Vinkeln mellan x och y är \cos \theta = \frac{x \cdot y}{|x| \cdot |y|}, där 0 \leq \theta \leq \pi.

Historiskt[redigera | redigera wikitext]

Under antiken insåg pytagoréerna att längden på hypotenusan för en kvadrat med enhetssida, √2, inte kunde uttryckas som ett rationellt tal (se roten ur två). Detta kom som en överraskning för dåtidens matematiker, som var övertygade om att de rationella talen var fullkomliga. Man insåg att det behövdes fler tal, bland annat för att beskriva kvadratrötter, men även för tal som π. Man lyckades dock inte finna en allmän och precis definition av dessa nya tal.

På 1800-talet revolutionerades denna del av matematiken, då Richard Dedekind gav en enkel men kraftfull konstruktion av de reella talen (se Dedekindsnitt). Han lät ett reellt (positivt) tal representeras av en öppen delmängd ur ℚ+. Det reella talet är sedan supremum av denna mängd. Om vi låter den aktuella mängden vara M och vi vill skapa decimalutvecklingen r för talet, kan vi gå till väga på detta sätt (för enkelhets skull begränsar vi oss till talen mellan 0 och 1):

  1. Vilken är den största tiondel (0,1 0,2 etc.) sådan att det finns tal i M som är större än denna tiondel?
  2. Lägg tiondelen till r
  3. Vilken är den största hundradel sådan att det finns tal i M som är större än hundradelen + r?
  4. Lägg hundradelen till r

Fortsätt oändligt många gånger, med tusendelar, tiotusendelar, etc.

På detta sätt ser vi att ett rationellt tal q representeras i ℝ av mängden {x ∈ ℚ : x<q}. Man visar sedan att de vanliga fyra räknesätten går att definiera för reella tal, och att de ger de resultat vi förväntar oss. Utifrån konstruktionen följer att mängden av de reella talen är fullständig, det vill säga att alla Cauchy-följder har ett gränsvärde (det finns inte några icke-reella tal på tallinjen).

Andra representationer[redigera | redigera wikitext]

De reella talen (mellan 0 och 1) kan också ses som element ur B, där basen B är en ändlig delmängd ur ℕ. På samma sätt, om man låter basen vara {0,1}, är ℝ naturligt homeomorf med potensmängden av de naturliga talen.

Kardinalitet[redigera | redigera wikitext]

Mängden reella tal är överuppräknelig, det vill säga antalet reella tal är i kardinalitetsmening större än antalet naturliga tal ℕ. Kardinaltalet för de reella talen är 2ℵ₀ , där ℵ₀ är antalet naturliga tal. Enligt kontinuumhypotesen är detta detsamma som ℵ₁ (Alef-1).

De rationella talen är bara ℵ₀ till antalet. De utgör därför bokstavligen en försvinnande liten del av alla reella tal. De irrationella dominerar totalt i antal. Man brukar illustrera detta med följande något provokativa, nästan paradoxala men ändå helt korrekta tankeexperiment: Antag att du kastar pil på den reella tallinjen. Då är sannolikheten exakt 0 att du träffar ett rationellt tal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

De reella talen uppfyller följande egenskaper:

Associativa lagarna[redigera | redigera wikitext]

Antag att a, b, c är reella tal. Då gäller:

1\mathrm{a}.\quad a + (b + c) = (a + b) + c
1\mathrm{b}.\quad a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

Enhetens existens[redigera | redigera wikitext]

Det finns tal 0 och 1 sådana att för varje reellt tal a gäller att:

2\mathrm{a}.\quad a + 0 = 0 + a = a
2\mathrm{b}.\quad a \cdot 1 = 1 \cdot a = a

Inversen[redigera | redigera wikitext]

3a. För varje tal a finns ett tal -a sådant att a + -a = 0
3b. För varje tal a skilt från 0, finns ett tal a -1 sådant att a · a  -1 = 1

Kommutativa lagarna[redigera | redigera wikitext]

Antag att a, b är reella tal. Då gäller:

4\mathrm{a}.\quad a + b = b + a
4\mathrm{b}.\quad a \cdot b = b \cdot a

Distributiva lagen[redigera | redigera wikitext]

Antag att a, b, c är reella tal. Då gäller:

5\mathrm{a}.\quad a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Ordning[redigera | redigera wikitext]

Det finns en delmängd av de reella talen P, kallad de positiva talen. Om a, b tillhör P så:

6\mathrm{a}.\quad a, b \ne 0
6\mathrm{b}.\quad -a, -b \not\in \mathbf{P}
6\mathrm{c}.\quad a + b \in \mathbf{P}
6\mathrm{d}.\quad a \cdot b \in \mathbf{P}

Fullständighet[redigera | redigera wikitext]

Om M är en delmängd av \mathbb{R}, och M är begränsad uppåt så existerar en minsta övre begränsning m (definierad som supremum av M, m = sup M).

Begränsningar[redigera | redigera wikitext]

Lösningar av vissa polynomekvationer till exempel x^2+1=0 ligger utanför de reella talen. För att lösa sådana ekvationer krävs de komplexa talen \mathbb{C}.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”Reella tal, Vad är Reella tal?”. Learning4sharing.nu. 17 januari 2009. http://www.learning4sharing.nu/reellatal-272548.html. Läst 14 oktober 2013. 
  2. ^ http://www.math.kth.se/~skjelnes/KURS/GYMNAS/10/Forelesning220311Gymnas.pdf Noia 64 mimetypes pdf.png PDF

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Matematik 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.