Residysatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Residysatsen eller Cauchys residysats uttrycker ett samband mellan vissa linjeintegraler av en funktion och dess Laurentserieutvecklingar i funktionens singulära punkter.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Antag att f är analytisk innanför och på en enkel sluten kurva \gamma förutom i ändligt många punkter z_1, \ldots , z_n, då gäller:

\oint_\gamma f(z) dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f;z_k), där integrationsvägen är tagen moturs.

där \operatorname{Res}(f;z_k) är residyn för f i z_k.

Ovanstående är ett ofta använt specialfall av en allmännare sats: Låt f vara analytisk i ett område U förutom i ändligt många punkter z_1, \ldots, z_n och \gamma vara en sluten kurva (inte nödvändigtvis enkel) som omsluter, men inte går igenom någon av punkterna z_1, \ldots, z_n. Då gäller:

\oint_\gamma f(z) dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f;z_k) \operatorname{Ind}_\gamma(z_k)

där \operatorname{Ind}_\gamma(z_k) är omloppstalet för kurvan \gamma kring punkten z_k.

Se även[redigera | redigera wikitext]