Residysatsen

Residysatsen eller Cauchys residysats uttrycker ett samband mellan vissa linjeintegraler av en funktion och dess Laurentserieutvecklingar i funktionens singulära punkter.

Formulering

Antag att $f$ är analytisk innanför och på en enkel sluten kurva $\gamma$ förutom i ändligt många punkter $z_1, \ldots , z_n$, då gäller:

$\oint_\gamma f(z) dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f;z_k)$, där integrationsvägen är tagen moturs.

där $\operatorname{Res}(f;z_k)$ är residyn för f i $z_k$.

Ovanstående är ett ofta använt specialfall av en allmännare sats: Låt f vara analytisk i ett område U förutom i ändligt många punkter $z_1, \ldots, z_n$ och $\gamma$ vara en sluten kurva (inte nödvändigtvis enkel) som omsluter, men inte går igenom någon av punkterna $z_1, \ldots, z_n$. Då gäller:

$\oint_\gamma f(z) dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f;z_k) \operatorname{Ind}_\gamma(z_k)$

där $\operatorname{Ind}_\gamma(z_k)$ är omloppstalet för kurvan $\gamma$ kring punkten $z_k$.

Se även

• Residy