Residysatsen

Från Wikipedia

Residysatsen eller Cauchys residysats uttrycker ett samband mellan vissa linjeintegraler av en funktion och dess Laurentserieutvecklingar i funktionens singulära punkter.

[redigera] Formulering

Antag att $f$ är analytisk innanför och på en enkel sluten kurva $γ$ förutom i ändligt många punkter $z_1, \ldots , z_n$ , då gäller:

$\oint_\gamma f(z) dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f;z_k)$ , där integrationsvägen är tagen moturs.

där $\operatorname{Res}(f;z_k)$ är residyn för f i $z k$ .

Ovanstående är ett ofta använt specialfall av en allmänare sats: Låt f vara analytisk i ett område U förutom i ändligt många punkter $z_1, \ldots, z_n$ och $γ$ vara en sluten kurva (inte nödvändigtvis enkel) som omsluter, men inte går igenom någon av punkterna $z_1, \ldots, z_n$ . Då gäller:

$\oint_\gamma f(z) dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f;z_k) \operatorname{Ind}_\gamma(z_k)$