Riemannintegral

Riemannintegral, skapad av Bernhard Riemann, var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler. Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen, som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.

Formell definition

Kolonnapproximation med Riemannsummor för Riemannintegralen.

Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner $f : [a,b] \rightarrow \R$ med en "kolonn"approximation. Först delar man upp $[a,b]$ i mindre intervall och sedan väljer man ut en punkt från varje intervall. Då man får en kolonn med intervallets bredd $b-a$ och funktionen f:s värde i den utvalda punkten som höjd. En Riemannsumma är summan av de här kolonnernas area. De här Riemannsummorna approximerar arean under en funktionskurva och Riemannintegralen definieras så att den är ett gränsvärde av Riemannsummor.

Mer precist, partionera $[a,b]\,$, så att ett antal mindre intervall bildas:

$\Delta_i = [c_{i-1}, c_i] \subset [a,b]\,$, $i = 1,2,...,n\,$,

och välj en punkt $\xi_i \in \Delta_i\,$. Då definierar paret

$(f(\xi_i),\Delta_i)\,$

en kolonn vars area är

$f(\xi_i)\ell(\Delta_i)\,$

där $\ell\,$ är längden av intervallet:

$\ell(\Delta_i)=\ell([c_{i-1}, c_i]) = c_i - c_{i-1}$.

En n-Riemannsumma för $f\,$, $n \in \N$ definieras som talet

$R_n (f) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\ell(\Delta_i)$,

dvs summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen $f\,$ är talet

$\int_a^b f(x) \, dx := \lim_{n \rightarrow \infty} R_n (f) ,$

dvs bäst approximationen för arean under f:s funktionskurva.

Riemannintegralen i $\R^n$

Riemann definierade endast Riemannintegralen i $\R$ men metoden kan generaliseras till $\R^n$ med samma kolonnapproximation. Låt

$B = [a_1,b_1]\times ... \times [a_n,b_n]$

vara ett n-rätblock i $\R^n$ och $f : B \rightarrow \R$ vara en begränsad funktion. Först partionerar man $B\,$ i n-rätblock

$B_i \subset B\,$, $i = 1,2,...,n\,$,

och väljer $\overline{\xi}_i = (\xi_{i,1},...,\xi_{i,n}) \in B_i\,$. Då paret

$(f(\overline{\xi}_i),B_i)\,$

definierar en n-dimensionell kolonn vars mått är

$f(\overline{\xi}_i)V(B_i)\,$

där $V\,$ är n-dimensionella volymen för rätblocket:

$V(B_i) = V([c_{i,1}, c_{i+1,1}] \times ... \times [c_{i,n}, c_{i+1,n}]) = \ell([c_{i,1}, c_{i+1,1}]) ... \ell([c_{i,n}, c_{i+1,n}]) = \prod_{k=1}^n (c_{i+1,k}-c_{i,k})$

En n-Riemannsumma för $f\,$, $n \in \N$ definieras som talet

$R_n (f) := \sum_{i=1}^n f(\overline{\xi}_i)V(B_i)$,

dvs summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion $f\,$ är talet

$\int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} ... \int_{a_n}^{b_n} f(x_1,x_2,...,x_n) \, dx_1 dx_2 ... dx_n := \lim_{n \rightarrow \infty} R_n (f) ,$

dvs bäst approximationen för (n+1)-dimensionella måttet under f:s funktionskurva.

MATLAB implementation

Riemannmetoden kan implementeras i MATLAB enligt följande:

function [I] = riemann(f,a,b,n)
%f=funktionens namn, a=startvärde, b=slutvärde, n=antal iterationer
 
h=(b-a)./n;
S=f(a);
i=1:1:n-1;
x=a+h.*i;
y=f(x);
S=S+sum(y);
S=S+f(b);
F=h.*S;
end

Se även

• Lebesgueintegration
• Måtteori