Riktningskoefficient

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Riktningskoefficienten k för den röda linjen är lika med \Delta y/\Delta x.

I matematik är riktningskoefficienten för en icke-lodrät rät linje (i kartesiskt koordinatsystemet) ett mått på hur brant linjen är (jämför tangent, sekant och derivata). Med algebraiska och geometriska argument kan riktningskoefficienten för en rät linje bestämmas, och med analys kan riktningskoefficienten för tangenten i en punkt till en allmän kurva bestämmas.

Definition[redigera | redigera wikitext]

I ett ON-system definieras riktningskoefficienten k för en rät linje som ej är parallell med y-axeln enligt

k: = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}},

där (x1,y1) och (x2,y2) är koordinaterna för två olika punkter på linjen. Linjer parallella med y-axeln saknar riktningskoefficient.

Ibland används felaktigt lutning som en synonym till 'riktningskoefficient'. Felaktigheten ligger i att 'lutning' inte är ett väldefinierat begrepp utan kan avse olika, men sinsemellan översättbara, storheter. Det skulle i ett visst sammanhang kunna vara riktningskoefficienten, men i ett annat lika väl vinkeln θ mellan linjen och den positiva horisontella (x-)axeln. Relationen mellan dessa storheter är k = tan(θ) och -90° < θ < 90°, dvs θ = arctan(k).

Geometri[redigera | redigera wikitext]

Ju större riktningskoefficienten är desto brantare är kurvan. En horisontell linje har riktningskoefficienten 0, en linje som lutar 45° har riktningskoefficienten +1, och en linje som lutar -45° har riktningskoefficienten -1. Riktningskoefficienten för en lodrät linje kan ej definieras men kan sägas ha lutningen 90° eller -90° (tvetydigt mått men likasägande vad gäller en linjes geometri).

Två räta linjer är parallella (||) i ett kartesiskt koordinatsystem om deras riktningskoefficienter är lika stora, eller om bägge linjerna är lodräta. Två räta linjer är vinkelräta (⊥) i ett kartesiskt koordinatsystem om produkten av deras riktningskoefficienter är lika med -1, eller om den ena linjen är horisontell och den andra är lodrät.

Algebra[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen för en icke-lodrät linje kan med olika framställningssätt framhäva olika tillräckliga uppsättningar av karakteriserande egenskaper. Ekvationsformen

y = kx + m

framhäver att riktningskoefficienten lika med koefficienten för variabeln x och att y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln är lika med m. Genom en liten omskrivning fås formen

y - y_0 = k(x-x_0)

som åter framhäver framhäver riktningskoefficienten men nu istället för talet 'm' så kan man direkt läsa av vilka koordinaterna är för en punkten P:(x0,y0) på linjen.

Den mest generella framställningen av en rät linje (i planet) är

ax + by + c = 0.

I denna form inkluderas även fallen med lodräta linjer.

Analys[redigera | redigera wikitext]

I fall med en kurva av typen F(x,y) = 0, för vilken tangenter existerar i ett x-intervall, är riktningskoefficienten för varje icke-lodrät tangent till kurvan given enligt

k_{tangent} = \left. -\frac{F'_x}{F'_y} \right|_{tangeringspunkt}.

Om kurvekvationen (i ett x-intervall där kurvan i varje punkt har en icke-lodrät tangent) har omformuleras till y = f(x) så kan tangentens i punkten P:(x0,f(x0)) riktningskoefficient formuleras enligt

k_{tangent} = f'(x_0).