Rolles sats

Rolles sats är en matematisk sats, som bevisades av Michel Rolle 1691; den används främst i beviset av den mer generella medelvärdessatsen.

Formulering

Låt $g$ vara en reellvärd funktion som besitter följande tre egenskaper:

1. Den är definierad och kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall $\left[a,b\right]$.
2. Den är deriverbar över det öppna intervallet $\left(a,b\right)$.
3. Den antar samma värde i intervallets ändpunkter: $g\left(a\right)=g\left(b\right)$.

Då antar funktionens derivata värdet noll någonstans i det öppna intervallet $(a,b)$; det vill säga att intervallet innehåller ett tal, c, sådant att $g^\prime(c) = 0$.

Bevis

För funktionen g kan bara ett av följande två fall gälla:

1. På det slutna intervallet [a,b] är funktionen konstant: $\forall \, x \in [a,b], \quad g(x) = g(a).$
2. På det slutna intervallet [a,b] är funktionen inte konstant: $\exists \, x \in [a,b], \quad g(x) \neq g(a).$

En konstant funktion har en derivata som är lika med noll överallt i det inre av sitt definitionsområde.

Om det första fallet gäller så vet vi därför att derivatan till funktionen g är noll på hela intervallet $(a,b)$:

$\forall \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.$

Man kan därför välja c som vilket som helst tal mellan a och b; till exempel kan man ta $c = (a+b)/2$.

Om det andra fallet gäller så skall vi visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller minst en punkt där derivatan till funktionen g är noll:

$\exists \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.$

Det finns en sats som säger att

en kontinuerlig funktion över ett slutet och begränsat intervall antar både sitt största och sitt minsta värde över intervallet.

Vi vet att funktionen g är kontinuerlig över det slutna intervallet [a,b]. Därför antar den sitt största värde (M) för ett tal i detta intervall och sitt minsta värde (m) för ett tal i detta intervall; kalla dessa tal för $x_M$ och $x_m$ respektive.

Talen $x_M$ och $x_m$ kan inte båda vara ändpunkter till intervallet [a,b], eftersom förutsättningen att g(a) = g(b) då innebär att funktionen g är konstant, vilket vi utgår från att den inte är. Vi vet därför att något av talen $x_M$ och $x_m$ ligger i det öppna intervallet (a,b).

På det öppna intervallet (a,b) är funktionen g deriverbar och vi vet att den antar sitt största eller sitt minsta värde i detta intervall. Det finns en sats (Fermats Kriterium) som säger att funktionens derivata i en sådan inre extrempunkt måste vara noll:

$g^\prime(x_M)=0$ eller $g^\prime(x_m)=0.$

Vi har härmed lyckats visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller ett tal där derivatan till funktionen g antar värdet noll:

$\exists \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.$

(Ta talet $x=x_m$ eller $x=x_M$.)

Konsekvenser

Rolles sats är normalt det viktigaste delresultat som används för att bevisa differentialkalkylens medelvärdessats.