Rolles sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Rolles sats är en matematisk sats, som bevisades av Michel Rolle 1691; den används främst i beviset av den mer generella medelvärdessatsen.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Låt g vara en reellvärd funktion som besitter följande tre egenskaper:

  1. Den är definierad och kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall \left[a,b\right].
  2. Den är deriverbar över det öppna intervallet \left(a,b\right).
  3. Den antar samma värde i intervallets ändpunkter: g\left(a\right)=g\left(b\right).

Då antar funktionens derivata värdet noll någonstans i det öppna intervallet (a,b); det vill säga att intervallet innehåller ett tal, c, sådant att g^\prime(c) = 0.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

För funktionen g kan bara ett av följande två fall gälla:

  1. På det slutna intervallet [a,b] är funktionen konstant: \forall \, x \in [a,b], \quad g(x) = g(a).
  2. På det slutna intervallet [a,b] är funktionen inte konstant: \exists \, x \in [a,b], \quad g(x) \neq g(a).

En konstant funktion har en derivata som är lika med noll överallt i det inre av sitt definitionsområde.

Om det första fallet gäller så vet vi därför att derivatan till funktionen g är noll på hela intervallet (a,b):

\forall \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.

Man kan därför välja c som vilket som helst tal mellan a och b; till exempel kan man ta c = (a+b)/2.

Om det andra fallet gäller så skall vi visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller minst en punkt där derivatan till funktionen g är noll:

\exists \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.

Det finns en sats som säger att

en kontinuerlig funktion över ett slutet och begränsat intervall antar både sitt största och sitt minsta värde över intervallet.

Vi vet att funktionen g är kontinuerlig över det slutna intervallet [a,b]. Därför antar den sitt största värde (M) för ett tal i detta intervall och sitt minsta värde (m) för ett tal i detta intervall; kalla dessa tal för x_M och x_m respektive.

Talen x_M och x_m kan inte båda vara ändpunkter till intervallet [a,b], eftersom förutsättningen att g(a) = g(b) då innebär att funktionen g är konstant, vilket vi utgår från att den inte är. Vi vet därför att något av talen x_M och x_m ligger i det öppna intervallet (a,b).

På det öppna intervallet (a,b) är funktionen g deriverbar och vi vet att den antar sitt största eller sitt minsta värde i detta intervall. Det finns en sats (Fermats kriterium) som säger att funktionens derivata i en sådan inre extrempunkt måste vara noll:

g^\prime(x_M)=0 eller g^\prime(x_m)=0.

Vi har härmed lyckats visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller ett tal där derivatan till funktionen g antar värdet noll:

\exists \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.

(Ta talet x=x_m eller x=x_M.)

Konsekvenser[redigera | redigera wikitext]

Rolles sats är normalt det viktigaste delresultat som används för att bevisa differentialkalkylens medelvärdessats.