Rot av tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Matematiska operationer
Addition (+)
addend + addend = summa
Subtraktion (−)
minuend − subtrahend = differens
Multiplikation (×)
multiplikand × multiplikator = produkt
Division (÷)
dividend ÷ divisor = kvot
Exponentiering
basexponent = potens
n:te roten (√)
gradradikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent

En n:te rot till ett tal a är ett tal x sådant att xn = a. Rottecknet är en operator på talet a.

  • Fallet n = 2 kallas kvadratrot, det som ofta avses med "roten ur" ett tal
  • Fallet n = 3 kallas kubikrot

Den n:te roten till ett tal betecknas:

\sqrt[n]{a}

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Rötter kan beräknas med hjälp av logaritmer

\sqrt[n]{x} = e^{\frac {\ln x}{n}}

Algoritm[redigera | redigera wikitext]

För att beräkna \sqrt[n]{A} kan följande algoritm användas:

  1. Gör en första gissning x_0 (desto närmare \sqrt[n]{A} desto snabbare konvergerar algoritmen).
  2. x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]
  3. Upprepa steg 2 tills önskad precision är uppnådd

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Algoritmen kan härledas från Newton-Raphsons metod.

\sqrt[n]{A} = x \Leftrightarrow x^n - A = 0

Vi söker alltså nollstället till

f(x) = x^n - A \

Iterationsformeln blir

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^n - A}{n \cdot x_k^{n-1}} = \frac{n \cdot x_k^n - (x_k^n - A)}{n \cdot x_k^{n-1}} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

Ett specialfall är då n = 2 vilket är mer känt som den babyloniska metoden.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Matematisk uppslagsbok, William Karush, W&W, 1962
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.