Rotkriteriet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Rotkriteriet är en matematisk sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt  \{ a_k \}_{k=0} ^\infty vara en talföljd. Då säger rotkriteriet att serien

\sum_{k=0} ^\infty a_k

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| a_k \right|^{\frac{1}{k}}<1

och att serien är divergent om

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| a_k \right|^{\frac{1}{k}}>1.

Notera att satsen inte säger något om fallet

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| a_k \right|^{\frac{1}{k}} =1.

Rotkriteriets betydelse för studiet av en potensseries \sum_{k=0} ^\infty a_kx^k konvergens inses genom att

\lim_{k\rightarrow\infty} \left| a_kx^k \right|^{\frac{1}{k}} =\lim_{k\rightarrow\infty} \left|a_k^\frac{1}{k} x \right|,

så potensseriens konvergens avgörs för alla x där gränsvärdet ej är ett. Det går att visa att rotkriteriet är ett starkare resultat än kvotkriteriet.

Se även[redigera | redigera wikitext]