Sannolikhetsfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En sannolikhetsfunktion är en funktion som ger sannolikheten att en diskret stokastisk variabel antar ett visst värde. Mer precist, om X: SR är en diskret stokastisk variabel så definieras sannolikhetsfunktionen till X som funktionen pX: R → [0,1] sådan att

p_X(x) = P(X = x) = P(\{ s \in S: X(s) = x \}).

I ord så är värdet av fX i punkten x lika med sannolikheten att X antar värdet x. Motsvarigheten för kontinuerliga stokastiska variabler kallas täthetsfunktion.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Om man låter en stokastisk variabel X bero på utfallet av ett myntkast, så består utfallsrummet S av utfallen krona eller klave. Låt X anta värdet 1 om krona fås, 0 om klave fås och anta att sannolikheten är lika stor att få krona som att få klave. Sannolikhetsfunktionen ges av:

p_X(x) = \begin{cases} 
\frac{1}{2} & x \in \{0,1\} \\
0 & \textrm{annars}
\end{cases}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Låt X vara en diskret stokastisk variabel. Då gäller för sannolikhetsfunktionen pX:

\sum_{-\infty < x < \infty} p_X(x) = 1
P(A \leq X \leq B) = \sum_{A \leq x \leq B} p_X(x)

Om FX är X:s fördelningsfunktion fås sannolikhetsfunktionen pX ur:

p_X(k) = \begin{cases}
F_X(0) & k = 0 \\
F_X(k) - F_X(k-1) & \textrm{annars}
\end{cases}

Man kan beräkna en betingad sannolikhetsfunktion, givet att någon händelse B inträffat. Detta betecknas och kan räknas ut som:

p_{X|B} = \begin{cases}
\frac{P_X(x)}{P(B)} & x \in B \\
0 & \textrm{annars}
\end{cases}

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar. Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4 
  • Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.