Sannolikhetsteori

Utfallet av tärningskast är en stokastisk variabel som studeras i sannolikhetsteori.

Sannolikhetsteorin är en matematisk disciplin som innefattar olika metoder för att beskriva och kvantifiera slumpmässiga händelser. Fundamenten för sannolikhetsteorin är Kolmogorovs axiom, mängdläran och kombinatorik.

I synnerhet studeras utfall och händelser i ett utfallsrum, ofta i termer av sannolikhetsfördelningar.

Klassisk sannolikhetsteori

Sannolikhetsteorin har sitt ursprung i 1500/1600-talets Italien och Frankrike där den tillämpades för hasardspel, den första läroboken skrevs av italienaren Gerolamo Cardano. Andra matematiker som gjort stora insatser för sannolikhetsteorin är Blaise Pascal, Thomas Bayes, Pierre de Fermat, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre och Pierre-Simon de Laplace.

• Klassisk sannolikhetsdefinition
• Geometrisk sannolikhetsdefinition
• Kombinatorik
• Bayesisk logik

Modern sannolikhetsteori

Ett problem med klassisk sannolikhetsteori är att man inte klassificerar händelser och sannolikhet med exakta matematisk koncept. När Georg Cantor formulerade mängdteori och Henri Lebesgue formulerade måtteori upptäckte en rysk matematiker Andrej Kolmogorov att man kan beskriva klassisk sannolikhetsteori med mängd- och måtteoretiska koncept, vilket ledde till sannolikhetsrummet.

Sannolikhetsrum

Huvudartikel: Sannolikhetsrum

Det viktigaste begreppet inom modern sannolikhetsteori är det måtteoretiska begreppet sannolikhetsrum. Sannolikhetsrummet är en effektiv struktur eftersom man kan beskriva alla klassiska begrepp inom sannolikhet. Kolmogorov formulerade begreppet sannolikhetsrum med Kolmogorovs axiom:

• utfallsrummet är en mängd, $\Omega\,$,
• händelser bildar en sigma-algebra, $\mathcal{F}$ i $\Omega\,$ och
• sannolikhet är ett mått, $\mathbb{P}\,$, definierad i $\mathcal{F}$ så att utfallsrummet har sannolikhet ett: $\mathbb{P}(\Omega)=1 .\,$

Tillämpningar

Sannolikhetsteori har många tillämpningar inom andra vetenskaper, exempelvis behöver fysik och statistik ofta sannolikhet med teoretiska aspekter.

Se även

• Måtteori
• Borel-Cantellis lemma

Litteratur

• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Olav Kallenberg Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2