Satsen om den öppna avbildningen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Satsen om den öppna avbildningen eller Banach-Schauders sats är inom funktionalanalys ett mycket användbart resultat.

Banach-Schauders sats[redigera | redigera wikitext]

Låt X och Y vara två Banachrum. Varje kontinuerlig, linjär och surjektiv operator, T : X \longrightarrow Y, är en öppen avbildning.

Satsens innebörd[redigera | redigera wikitext]

En öppen avbildning skall jämföras med en kontinuerlig avbildning:

En avbildning T : X \longrightarrow Y är kontinuerlig om den inversa bilden av en öppen mängd är en öppen mängd:
För varje öppen mängd U i rummet Y är den inversa bilden T^{-1}(U)\, en öppen mängd i rummet X.
En avbildning T : X \longrightarrow Y är öppen om varje bild av en öppen mängd är en öppen mängd:
För varje öppen mängd V i rummet X är bilden T(V) en öppen mängd i rummet Y.

Banach-Schauders sats medför att öppna mängder i rummet X svarar mot öppna mängder i rummet Y och vice versa, om X och Y kan förbindas med en avbildning som är kontinuerlig, linjär och bijektiv. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att de topologiska strukturerna på rummen X och Y är isomorfa och att avbildningen T är en homeomorfism: Att undersöka kontinuitetsegenskaper i rummet X är detsamma som att undersöka kontinuitet i rummet Y och vice versa.

Bevis av Banach-Schauders sats[redigera | redigera wikitext]

Beviset bygger på Baires kategoriteorem och begreppet ingenstans-tät mängd.

Konsekvenser av Banach-Schauders sats[redigera | redigera wikitext]