Satsen om total sannolikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Satsen (alternativt lagen) om total sannolikhet är en fundamental sats inom sannolikhetsteorin. Satsen relaterar sannolikheter för enskilda händelser till betingade sannolikheter. Den uttrycker den totala sannolikheten för en händelse relaterat till den betingade sannolikheten för en mängd av händelser som utgör hela utfallsrummet.

Satsen om total sannolikhet kan formellt beskrivas på följande sätt.

Antag att A_1, ..., A_n är n disjunkta händelser, med P(A_i)>0 för i=1, 2, ..., n, och om dessa händelser utgöra hela utfallsrummet, \bigcup^{n}_{i=1} A_i = \Omega, då gäller att en händelse B \subseteq \Omega har sannolikheten

P(B)=\sum^{n}_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Enligt förutsättningarna har vi \bigcup^{n}_{i=1} A_i = \Omega, vilket implicerar att B=\bigcup^{n}_{i=1} (B \cap A_i). Under villkoret att A_i \cap A_j = \varnothing för i \neq j \quad i, j = 1, 2, ..., n gäller det att mängderna B \cap A_i är oförenliga. Med hjälp av axiom 3 i Kolmogorovs axiomsystem, och definitionen av betingad sannolikhet, får vi

P(B)=P(\bigcup^{n}_{i=1} (B \cap A_i))=\sum^{n}_{i=1}P(B \cap A_i)=\sum^{n}_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Stokastik av Sven Erick Alm, Tom Britton, 2011, sida 29.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.