Schrödingerekvationen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Kvantmekanik

Teori:

Tolkning:

Persongalleri
Einstein | Schrödinger
Heisenberg | Dirac | Fermi
Bohr | Planck | Born

Schrödingerekvationen är en partiell differentialekvation av central betydelse inom kvantmekaniken. Ekvationen beskriver dynamiken hos ett kvantmekaniskt tillstånd på motsvarande sätt som Newtons andra lag beskriver dynamiken hos mekaniska system inom klassisk fysik. Schrödingerekvationen formulerades i slutet av 1925 av den österrikiske fysikern Erwin Schrödinger[1] mot bakgrund av Louis de Broglies teori om våg-partikeldualitet.

Inom kvantmekaniken beskrivs tillståndet för en partikel, till exempel en elektron, av en vågfunktion. Schrödingerekvationen beskriver partikelns dynamik, det vill säga hur vågfunktionen beter sig över tiden. Flera kvantmekaniska egenskaper och fenomen följer direkt ur Schrödingerekvationen, såsom energikvantisering, superposition och tunneleffekt. I relativistisk kvantmekanik, kvantfältteori, förekommer motsvarande ekvationer, Klein–Gordon-ekvationen och Diracekvationen.

Ekvationen[redigera | redigera wikitext]

Allmän tidsberoende ekvation[redigera | redigera wikitext]

Givet en vågfunktion \Psi och en Hamiltonoperator \hat H, som i allmänhet beror på både rum och tid (och eventuella andra frihetsgrader såsom spinn), ges Schrödingerekvationen i sin mest allmänna form av

(Tidsberoende) Schrödingerekvationen

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi

där i betecknar imaginära enheten, \hbar betecknar Plancks konstant delat med 2\pi och \frac{\partial}{\partial t} betecknar en partiell tidsderivata.

Tidsoberoende ekvation för stationära tillstånd[redigera | redigera wikitext]

I de fall Hamiltonoperatorn är tidsoberoende för ett kvantmekaniskt system är energin konserverad för systemet. I dessa fall kan lösningar till Schrödingerekvationen ovan hittas med hjälp av ansatsen \Psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar}. Från den tidsberoende Schrödingerekvationen följer den tidsoberoende Schrödingerekvationen

Tidsoberoende Schrödingerekvationen för stationära tillstånd

E\phi(\mathbf{r}) = \hat H \phi(\mathbf{r})

Med andra ord reduceras den tidsberoende Schrödingerekvationen till en tidsoberoende egenvärdesekvation för Hamiltonoperatorn med vågfunktionen som egenfunktion och energin som egenvärde. Lösningar på denna form kallas stationära tillstånd eftersom deras sannolikhetstäthet given av |\Psi(\mathbf{r},t)|^2=|\phi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar}|^2=|\phi(\mathbf{r})|^2 är tidsoberoende.

Eftersom den tidsberoende Schrödingerekvationen är linjär är en linjärkombination av flera stationära tillstånd en lösning till Schrödingerekvationen trots att linjärkombinationen själv inte uppfyller den tidsoberoende ekvationen för stationära tillstånd. De stationära tillstånden kan användas som en bas för att beskriva alla lösningar, det vill säga varje lösning till den allmänna Schrödingerekvationen kan skrivas som en linjärkombination av de stationära lösningarna.

Icke-relativistisk partikel i ett elektriskt fält[redigera | redigera wikitext]

För en icke-relativistisk partikel med potentiell energi V(\mathbf{r},t) i ett elektriskt fält ges Schrödingerekvationen av

Schrödingerekvationen (icke-relativistisk partikel)

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\textbf{r},t)\right] \Psi

där \hat H = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\textbf{r},t)\right] är Hamiltonoperatorn för partikeln, m partikelns massa och \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} är Laplaceoperatorn. Hamiltonoperatorn kan ses som en summa av den kinetiska energin -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \equiv \frac{\hat{p}^2}{2m} (med rörelsemängdsoperatorn \hat{p} \equiv -i\hbar \nabla) och den potentiella energin V(\textbf{r},t) för partikeln.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Schrödingerekvationen har flera viktiga matematiska egenskaper som hänger samman med fysikaliska fenomen.

Linjäritet och superposition[redigera | redigera wikitext]

Schrödingerekvationens linjäritet innebär att om ett antal vågfunktioner \Psi_n, där n är ett index som numrerar de olika vågfunktioner, uppfyller ekvationen så är även \Psi = \sum \limits_n c_n \Psi_n en lösning, där c_n är (i allmänhet) komplexa koefficienter.

Linjäriteten manifesterar superpositionsprincipen: En kvantmekanisk partikel kan befinna sig i en superposition av flera möjliga kvanttillstånd. Dess vågfunktion är då en linjärkombination av dessa kvanttillstånd.

Reella egenvärden/energier[redigera | redigera wikitext]

Hamiltonoperatorn som används i Schrödingerekvationen måste alltid vara Hermitesk, vilket bland annat garanterar att egenvärdena (energierna) i den tidsoberoende Schrödingerekvationen är reella.

Lokal konservering av sannolikhetstäthet[redigera | redigera wikitext]

Schrödingerekvationen är förenlig med sannolikhetskonservering. Genom att multiplicera Schrödingerekvationen med den komplexkonjugerade vågfunktionen från höger och vågfunktionen till vänster på den komplexkonjugerade Schrödingerekvationen, och subtrahera resultaten, erhålls kontinuitetsekvationen:


\frac{\partial}{\partial t} \rho(\textbf{r},t)+\nabla \cdot \textbf{j} = 0
där \rho = |\Psi|^2 är sannolikhetstätheten och \textbf{j} = \frac{1}{2m}(\Psi^* \hat{\textbf{p}} \Psi - \Psi \hat{\textbf{p}} \Psi^*) är sannolikhetsströmmen.

Rums- och tidsderivator[redigera | redigera wikitext]

I motsats till vågekvationen har Schrödingerekvationen endast en förstaderivata med avseende på tiden. Andraderivatan med avseende på rumskoordinater i den tidsoberoende ekvationen innebär att tid och rum inte behandlas på samma sätt i ekvationen, alltså är den inte förenlig med speciella relativitetsteorin.

Intuitiv tolkning av ekvationen[redigera | redigera wikitext]

Vågfunktionen (\Psi) för ett kvantmekaniskt system ger oss information om hur vi kan beräkna sannolikheter att systemet skall befinna sig i olika tillstånd; för en enskild partikel kan 'tillståndet' i fråga vara att den skall röra sig inom en cirkel, vars centrum är i origo och vars radie är en centimeter, under 10 minuter. Sannolikheterna förändras allteftersom tiden går och de är också beroende på var någonstans partikeln befinner sig; matematiskt innebär detta att vågfunktionen är en funktion som beror av tiden (t) och positionen i rummet (x):

\Psi(t,x).\,

Schrödingers ekvation talar om hur vågfunktionen förändras då tiden går, vilket beskrivs matematiskt med den partiella derivatan av vågfunktionen med avseende på tidsvariabeln:

\frac{\partial \Psi}{\partial t}.

Schrödinger säger att förändringen beror på hur snabbt partikeln rör sig och vilka hinder den upplever under sin rörelse:

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \underbrace{- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi}_{Hastighet}+\underbrace{V(\mathbf r,t)\Psi}_{Hinder}

Ett annat sätt att uppfatta Schrödingerekvationen är som en beskrivning av rörelsen hos en partikel som skuttar runt slumpmässigt (diffunderar) och som stöter på hinder i sin rörelse:

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \underbrace{- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi}_{Diffusion}+\underbrace{V(\mathbf r,t)\Psi}_{Hinder}

Notera att själva rörelsen hos partikeln inte beskrivs av Schrödingerekvationen – för en sådan beskrivning behöver man en så kallad stokastisk differentialekvation – utan Schrödingerekvationen bara ger oss information om sannolikheter att partikeln skall vara på vissa platser under vissa tider.

Sannolikheten att partikeln under tio minuter skall röra sig inom cirkeln D, vars centrum är origo och vars radie är en centimeter, ges av följande integral av vågfunktionen:

\int_{t \in [0,10]} \int_{x \in D} \vert \Psi(t,x) \vert ^2 \, dt dx.

Om vi har funnit lösningen till Schrödingerekvationen så vet vi hur vågfunktionen ser ut och då kan vi beräkna denna dubbelintegral.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Plan våg[redigera | redigera wikitext]

En plan våg kan beskrivas endimensionellt. För en fri partikel (V = 0) är den generella lösningen

\Psi(x,t)=\frac1\sqrt{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \phi(p)e^{i \left(p \, x - E(p) \, t\right)/\hbar}d p

där \phi är ett vågpaket, det vill säga en fördelning av rörelsemängder, p, och E(p) = p^2/2m är energin hos en partikel med rörelsemängd p.

Partikel i låda[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Partikel i låda

"Lådan" består av en potential som är oändlig utanför och konstant in i lådan. Lösningarna är vågor för fria partiklar som uppfyller randvillkoren att vågfunktionen måste vara noll utanför lådan. Detta leder till stående vågor med kvantiserade energinivåer.

Speciella relativitetsteorin[redigera | redigera wikitext]

Att denna ekvation inte är kompatibel med speciella relativitetsteorin inses då differentialekvationen är av första ordningen i tiden, men av andra ordningen i variabeln x. Vidare kan sägas att \psi(x,t) är en komplexvärd funktion (se komplexa tal) och att \left| \psi(x,t) \right| är stor där partikeln förväntas vara. Max Born postulerade att funktionen \left| \psi \right|^2 motsvarar sannolikheten för att en partikel befinner sig i rumsintervallen x+dx och inom tidsintervallen t+dt. Detta medför att vi kan förstå normaliseringsfaktorn i lösningen ovan, då följande villkor ställs på lösningarna, eftersom en partikel med nödvändighet måste befinna sig någonstans i rummet.

 \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x,t) \right|^2 dx = 1

Funktionalanalys[redigera | redigera wikitext]

I kvantmekanik är varje system associerat med ett komplext hilbertrum sådant att de möjliga tillstånden[förtydliga] i systemet är beskrivet av en linjärkombination av enhetsvektorer i en sådan rymd. Respektive tillståndsvektor kodifierar sannolikheterna för utfallen av alla möjliga mätningar applicerade på system. Eftersom systemets tillstånd generellt förändras över tiden, är tillståndsvektorn en funktion över tiden. Schrödingerekvationen ger en kvantitativ beskrivning av förändringen av tillståndsvektorn.

Med användning av Diracs notation kan vi skriva tillståndsvektorn vid tid t som |ψ(t)〉.

Schrödingerekvationen är då:

 H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:655075/FULLTEXT02.pdf

  1. ^ Schrödinger, Erwin (1926). Physical Review "28" (1049–1070). http://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf.