Schrödingerekvationen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Kvantmekanik

Teori:

Tolkning:

Persongalleri
Einstein | Schrödinger
Heisenberg | Dirac | Fermi
Bohr | Planck | Born

Erwin Schrödingers grav på Alpbachs kyrkogård, med Schrödingerekvationen.

I fysiken beskriver schrödingerekvationen, föreslagen av den österrikiske fysikern Erwin Schrödinger år 1925, rums- och tidsberoendet för icke-relativistiska kvantmekaniska system. Den är av central betydelse inom kvantmekanik, där den spelar en roll analog med Newtons andra lag i klassisk mekanik. Schrödingerekvationen är empiriskt belagd. Ett fenomen är kvantiserat om dess lösning av schrödingerekvationen innehåller ett uppräkneligt antal energinivåer, s.k. kvantnivåer.

Schrödinger grundlade sitt arbete på de Broglies ekvation som gav den korresponderande våglängden för en materiepartikel. Schrödinger misslyckades dock med att forma sin ekvation relativistiskt, och därför ger ekvationen ofta endast approximativa lösningar. För att lösa relativistiska fall används istället Klein-Gordon-ekvationen och Diracekvationen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

I en rumsdimension är den tidsberoende schrödingerekvationen

i\hbar  \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x,t)\right)\Psi(x,t)

där \Psi är sannolikhetsamplituden (vågfunktionen) och V är den potentiella energin. Den tredimensionella motsvarigheten är

i\hbar  \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r,t) = \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r,t)\right)\Psi(\mathbf r,t)

där man brukar införa hamiltonoperatorn H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf r,t).

Intuitiv tolkning av ekvationen[redigera | redigera wikitext]

Vågfunktionen (\Psi) för ett kvantmekaniskt system ger oss information om hur vi kan beräkna sannolikheter att systemet skall befinna sig i olika tillstånd; för en enskild partikel kan 'tillståndet' i fråga vara att den skall röra sig inom en cirkel, vars centrum är i origo och vars radie är en centimeter, under 10 minuter. Sannolikheterna förändras allteftersom tiden går och de är också beroende på var någonstans partikeln befinner sig; matematiskt innebär detta att vågfunktionen är en funktion som beror av tiden (t) och positionen i rummet (x):

\Psi(t,x).\,

Schrödingers ekvation talar om hur vågfunktionen förändras då tiden går, vilket beskrivs matematiskt med den partiella derivatan av vågfunktionen med avseende på tidsvariabeln:

\frac{\partial \Psi}{\partial t}.

Schrödinger säger att förändringen beror på hur snabbt partikeln rör sig och vilka hinder den upplever under sin rörelse:

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \underbrace{- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi}_{Hastighet}+\underbrace{V(\mathbf r,t)\Psi}_{Hinder}

Ett annat sätt att uppfatta Schrödingerekvationen är som en beskrivning av rörelsen hos en partikel som skuttar runt slumpmässigt (diffunderar) och som stöter på hinder i sin rörelse:

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \underbrace{- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi}_{Diffusion}+\underbrace{V(\mathbf r,t)\Psi}_{Hinder}

Notera att själva rörelsen hos partikeln inte beskrivs av Schrödingerekvationen – för en sådan beskrivning behöver man en så kallad stokastisk differentialekvation – utan Schrödingerekvationen bara ger oss information om sannolikheter att partikeln skall vara på vissa platser under vissa tider.

Sannolikheten att partikeln under tio minuter skall röra sig inom cirkeln D, vars centrum är origo och vars radie är en centimeter, ges av följande integral av vågfunktionen:

\int_{t \in [0,10]} \int_{x \in D} \vert \Psi(t,x) \vert ^2 \, dt dx.

Om vi har funnit lösningen till Schrödingerekvationen så vet vi hur vågfunktionen ser ut och då kan vi beräkna denna dubbelintegral.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Plan våg[redigera | redigera wikitext]

En plan våg kan beskrivas endimensionellt. För en fri partikel (V = 0) är den generella lösningen

\Psi(x,t)=\frac1\sqrt{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \phi(p)e^{i \left(p \, x - E(p) \, t\right)/\hbar}d p

där \phi är ett vågpaket, det vill säga en fördelning av rörelsemängder, p, och E(p) = p^2/2m är energin hos en partikel med rörelsemängd p.

Partikel i låda[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Partikel i låda

"Lådan" består av en potential som är oändlig utanför och konstant in i lådan. Lösningarna är vågor för fria partiklar som uppfyller randvillkoren att vågfunktionen måste vara noll utanför lådan. Detta leder till stående vågor med kvantiserade energinivåer.

Speciella relativitetsteorin[redigera | redigera wikitext]

Att denna ekvation inte är kompatibel med speciella relativitetsteorin inses då differentialekvationen är av första ordningen i tiden, men av andra ordningen i variabeln x. Vidare kan sägas att \psi(x,t) är en komplexvärd funktion (se komplexa tal) och att \left| \psi(x,t) \right| är stor där partikeln förväntas vara. Max Born postulerade att funktionen \left| \psi \right|^2 motsvarar sannolikheten för att en partikel befinner sig i rumsintervallen x+dx och inom tidsintervallen t+dt. Detta medför att vi kan förstå normaliseringsfaktorn i lösningen ovan, då följande villkor ställs på lösningarna, eftersom en partikel med nödvändighet måste befinna sig någonstans i rummet.

 \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x,t) \right|^2 dx = 1

Funktionalanalys[redigera | redigera wikitext]

I kvantmekanik är varje system associerat med ett komplext hilbertrum sådant att de möjliga tillstånden[förtydliga] i systemet är beskrivet av en linjärkombination av enhetsvektorer i en sådan rymd. Respektive tillståndsvektor kodifierar sannolikheterna för utfallen av alla möjliga mätningar applicerade på system. Eftersom systemets tillstånd generellt förändras över tiden, är tillståndsvektorn en funktion över tiden. Schrödingerekvationen ger en kvantitativ beskrivning av förändringen av tillståndsvektorn.

Med användning av Diracs notation kan vi skriva tillståndsvektorn vid tid t som |ψ(t)〉.

Schrödingerekvationen är då:

 H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:655075/FULLTEXT02.pdf