Schwarzisk derivata

En Schwarzisk derivata beskriver hur en funktion ska approximeras av en tangerande Möbiusavbildning istället för en tangerande linje, som i fallet för vanliga derivator.

Definition

Den Schwarziska derivatan av en funktion $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definieras som

$(Sf)(z) = \left( \frac{f^{\prime\prime}(z)}{f^\prime (z)} \right) ^\prime - \frac{1}{2} \left( \frac{f^{\prime\prime} (z)}{f^\prime (z)} \right)^2 = \frac{f^{\prime\prime} (z)}{f^\prime (z)} - \frac{3}{2} \left( \frac{f^{\prime\prime} (z) }{f^\prime (z)} \right) ^2$.

Alternativt kan den schwarziska derivatan av $f$ definieras som

$(Sf)(z)=6\lim_{x\to z} \left({f^\prime(x)f^\prime(z)\over(f(x)-f(z))^2}-{1\over(x-z)^2}\right).$