Ordinär differentialekvation

En ordinär differentialekvation (eller ODE) är en ekvation för bestämning av en obekant funktion av en oberoende variabel där förutom funktionen en eller flera av funktionens derivator ingår.

Till exempel ger Newtons andra rörelselag differentialekvationen

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x(t)),\,$

för rörelsen hos en partikel med massan m. Kraften F beror av partikelns position och därför finns den obekanta funktionen i differentialekvationens båda led.

Ordinära differentialekvationer bör skiljas från partiella differentialekvationer där det förekommer partiella derivator med avseende på flera oberoende variabler.

Ordinära differentialekvationer förekommer i många olika sammanhang såsom geometri, mekanik och astronomi. Många berömda matematiker har studerat differentialekvationer och bidragit till forskningsfältet, såsom Newton, Leibniz, släktingarna Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert och Euler.

Mycket arbete har lagts ned på att finna lösningsmetoder till ordinära differentialekvationer.

I fallet då ekvationen är linjär med konstanta koefficienter kan den lösas med analytiska metoder (med "papper och penna"). Många intressanta differentialekvationer är icke-linjära och kan i allmänhet inte lösas exakt. Genom datorberäkningar (numerisk analys) kan lösningarna beräknas approximativt och ofta med godtyckligt hög noggrannhet.

Definition

En allmän ODE har formen

$F(x^{(n)},x^{(n-1)}, \ldots, x,t) = 0$,

för någon funktion $F$. Genom att låta $x$ vara en vektorvärd funktion går det att täcka in system av differentialekvationer. $x$ kan anta värden i allmänna Banachrum men här behandlas endast fallet då $x \in \mathbb{R}^{n}$.

Ekvationen används vanligen på normalform vilket innebär att den skrivs

$x^{(n)} = F(x^{(n-1)},\ldots,x,t)\,$

En ekvation på normalform kan reduceras till en ekvation av första graden

$u' = F(u,t)\,$

genom att sätta

$u_{i} = x^{(i)}\,$.

Vanligtvis finns det också ett begynnelsevärdesvillkor

$u(t_{0}) = u_{0}\,$

Existens och entydighet

För att garantera existensen av lösningar till

$\begin{matrix} u' &=& F(u,t) \\ u(t_{0}) &=& u_{0} \end{matrix}$

i något intervall kring t₀ räcker det att F är kontinuerlig.

För att lösningen ska vara entydig krävs det ytterligare villkor varav det mest använda är att F är Lipschitzkontinuerlig i den första variabeln.

Autonom ODE

En ODE är autonom om den oberoende variabeln inte förekommer explicit. Ekvationerna

$y' = \frac{dy}{dt} = \cos(y)\,$

$y'' + 4y' + y = 0\,$

är exempel på autonoma ODE's. Exempel på en icke-autonom ODE:

$y'' + y + t = 0\,$

där t är den oberoende variabeln.

Linjär ODE

ODE'n

$F(y,y',y'',...,y^{n},t)\,$

är linjär om F är linjär med avseende på alla former av den beroende variabeln y, det vill säga alla

$y,y',y'',...,y^{n}\,$

Homogen ODE

Om högerledet är noll är ODE'n homogen:

$F(y,y',y'',...,y^{n},t) = 0\,$

Ekvationer av 1:a ordningen

Separabla ekvationer

Dessa är av formen

$\phi(x) dx = \psi(y) dy\,$

Ekvationen löses med direkt integration:

$\int\phi(x) dx = \int\psi(y) dy\,$

Exempel

$x\,dy + ny\,dx = 0\,$

$\frac{dy}{y} = -n\frac{dx}{x}\,$

$\int \frac{dy}{y} = -n\int \frac{dx}{x} + C\,$

$C=\ln c\,$

$\ln|y| = -n\ln|x| + \ln(c) = \ln\frac{c}{x^n}\,$

$y = \frac{c}{x^n}\,$

Homogena ekvationer

Dessa kan skrivas

$y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\,$

Ekvationen kan lösas genom substitution:

$\frac{y}{x} = z;\quad dy = z\,dx + x\,dz\,$

$z + x \frac{dz}{dx}= f(z)\,$

$x \frac{dz}{dx}= f(z) - z\,$

$\frac{dz}{f(z) - z} = \frac{dx}{x}\,$

Ekvationen är separabel och

$\int{\frac{dz}{f(z) - z}} = \ln|x| + C\,$

Exempel

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}, \quad z = \frac{y}{x}\,$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}x+z, \quad \frac{dz}{dx}x + z = \frac{1+z}{1-z}\,$

$\frac{dz}{dx}x = \frac{1+z^2}{1-z}, \quad \frac{dz(1-z)}{1+z^2} = \frac{dx}{x}\,$

$\int\frac{dz}{1+z^2} - \int\frac{z}{1+z^2}dz = \int\frac{1}{x}dx+ \ln c\,$

$\arctan z - \frac{1}{2}\ln|1+z^2| = \ln x + \ln c\,$

$\arctan z = \ln|c x\sqrt{1 + z^2}|\,$, vilket efter återsubstitution av z ger

$\arctan\frac{y}{x} = \ln|c\sqrt{x^2+y^2}|\,$

Linjära ekvationer

Linjära ekvationer är ekvationer av första graden i y och dess derivator:

$\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x) = 0\,$

Först löses den homogena ekvationen

$\frac{dy}{dx} + p(x)y= 0\,$

vilken är separabel:

$\frac{dy}{y} = -p(x)\,dx;\quad \log y = -\int{p(x)dx} + \log(c)\,$

$y = c\,e^{-\int{p(x)\,dx}}\,$

För att lösa den allmänna ekvationen, försöker man bestämma c som en funktion av x, så att

$c(x)e^{-\int{p(x)dx}}\,$

blir en lösning. Genom insättning fås

$c'(x)e^{-\int{p(x)dx}}+q(x)=0\,$

$c'(x)= -q(x)e^{\int{p(x)dx}}\,$

$c(x) = -\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}} dx}+C\,$

$y = e^{-\int{p(x)dx}} \left[C-\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}} dx\right] \,$

Exempel

$\frac{dy}{dx}+a\,y = \sin bx\,$

$\begin{align} y &= e^{-\int{a\,dx}}\left[C + \int{\sin bx\, e^{\int{a\,dx}}}dx \right]=e^{-a\,x}(C + \int{e^{a\,x} \sin bx\,dx)}=\\ &=e^{-a\,x}\left[C+e^{a\,x}\frac{a\sin bx - b\cos bx}{a^2+b^2} \right] \end{align}$

Differentialekvationer av högre ordning

En ekvation av slaget

$\frac{d^n y}{dx^n} = f(x)\,$

löses genom att integreras n gånger:

$\begin{align} y &= \int dx \int dx\dots \int{f(x)dx} + c_1 x^{n-1}+c_2 x^{x-2}+...+c_n\,=\\ &=\int{(x-t)^{n-1}f(t) dt} + c_1 x^{n-1} + c_2 x^{n-2}+...+c_n\, \end{align}$

Exempel:

$y'' = \sin x\, dx\,$

$y' = \int{\sin x\, dx} + c_1 = -\cos x + c_1\,$

$y = -\int{\cos x\,dx} + c_1x + c_2 = -\sin x + c_1x + c_2\,$

Linjära differentialekvationer

Ekvationen

$p_0(x)\,y^n+p_1(x)\,y^{n-1}+...+p_n(x) = \psi(x)\,$

är linjär då den obekanta funktionen och dess derivator uppträder linjärt. Om

$\psi(x) = 0\,$

är ekvationen homogen, annars inhomogen eller fullständig.

Linjära homogena differentialekvationer med konstanta koefficienter

Ekvationen

$a_0y^n+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y+a_n=0\,$

där alla $a_k$ är konstanter, löses med ansatsen

$y=e^{\lambda x}\,$

Genom insättning finner man att $\lambda$ måste satisfiera karaktäristiska ekvationen:

$a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda+a_n=0\,$

vars lösning ger de n rötterna

$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\,$

Om alla rötterna är olika blir den allmänna lösningen

$y=C_1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x}+...+C_n e^{\lambda_n x}$

Finns det däremot multipelrötter, till exempel

$\lambda_1 = \lambda_2=...=\lambda_v;\,\lambda_{v+1}=\lambda_{v+2}=...=\lambda_{v+u};\,...\,$

blir den allmänna lösningen

$\begin{align} y=&(C_1 + C_2x+...+C_v x^{v-1})e^{\lambda_1 x}+\\ &(C_{v+1}+C_{v+2}x+...+C_{v+u}x^{u-1})e^{\lambda_{v+1}x}+... \end{align}$

Rötterna till karaktäristiska ekvationen kan naturligtvis vara komplexa, men om dess koefficienter är reella, blir rötterna parvis konjugerat komplexa. Det är då lämpligt att införa trigonometriska funktioner.

Exempel:

Om

$\lambda_1 = p + iq;\quad \lambda_2=p-iq$

så fås

$\begin{align}C_1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x}&=e^{px}(C_1+C_2)\cos qx+ie^{px}(C_1-C_2)\sin qx=\\ &= c_1e^{px}+c_2e^{px}\sin qx = c_3e^{px}\sin(qx + c_4)\,\end{align}$

där c₃ och c₄ är godtyckliga konstanter.

Linjära, fullständiga differentialekvationer med konstanta koefficienter

Den fullständiga lösningen är summan av lösningen till den homogena ekvationen

$a_0y^n+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y+a_n=0\,$

och den partikulära lösningen, det vill säga lösningen till

$a_0y^n+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y+a_n=\psi(x)\,$

Först bestäms den homogena lösningen, till exempel som

$C_1y_1 + C_2y_2+...+C_ny_n\,$

Variation av konstanten

För att få lösningen till den fullständiga ekvationen antar man att $C_1, C_2,...C_n$ är funktioner av x och försöker bestämma dessa genom insättningar. y är en lösning om följande ekvationssystem är satisfierat:

$\begin{cases} C_1' y_1 + C_2' y_2 +...+ C_n' y_n &=0\\ C_1' y_1' + C_2' y_2' +...+ C_n' y_n' &=0\\ \vdots\\ C_1' y_1^{n-1} + C_2' y_2^{n-1} +...+ C_n' y_n^{n-1} &=\frac{\psi(x)}{a_0} \end{cases}$

Systemet löses för $C_1', C_2',...,C_n'\,$ och $C_1, C_2,...,C_n\,$ bestäms genom integrering.

Exempel:

$y'' + y = \sin(x)\,$

Karaktäristiska ekvationen blir

$\lambda^2 + 1 = 0,\quad \lambda = \pm i\,$

och den homogena lösningen blir därmed

$y=C_1\sin x + C_2\cos x\,$

Variera $C_1$ och $C_2$:

$\begin{cases} C_1' \sin x + C_2' \cos x &=0\\ C_1' \cos x - C_2' \sin x &=\sin x\\ \end{cases}\Rightarrow$

$C_1' = \sin x \cos x,\quad C_2' = -\sin^2x\,$

$\begin{align} y &= \left(-\frac{\cos 2x}{4}+c_1\right)\sin x + \left(\frac{\sin 2x}{4}-\frac{x}{2}+c_2\right)\cos x=\\ &=\left(\frac{1}{4}+c_1\right)\sin x + \left(c_2-\frac{x}{2}\right)\cos x\,\end{align}$

Ansats

En ofta använd och bekväm metod är att bestämma den partikulära lösningen med en ansats, det vill säga, sätta upp ett uttryck för lösningen, där vissa obestämda element ingår och sedan bestämma dessa genom insättning.

$\boldsymbol{\psi(x)}\,$ är ett polynom

Om $\psi(x)\,$ är ett polynom

$\psi(x) = a_0 x^m+a_1 x^{m-1}+...+a_m,\quad(a_m \ne 0)\,$

görs ansatsen i form av ett polynom av grad m. Är

$a_n = a_{n-1} = a_{n-p} = 0\,$

görs först substitutionen

$\frac{d^py}{dx^p}= z\,$

i differentialekvationen.

$\boldsymbol{\psi(x)}$ = A cos ax + B cos ax

Ansatsen är

$y=H\cos ax + K\sin ax\,$

om $\pm ai$ inte är en rot till den karaktäristiska ekvationen. Är ansatsen$\pm ai$ en r-faldig rot, görs ansatsen

$y=Hx^r\cos ax + Kx^r\sin ax\,$.

$\boldsymbol{\psi(x)}\,$ är en exponentialfunktion

Om högerledet är en exponentialekvation

$Ae^{k\,x}$

och k ej är en rot till den karaktäristiska ekvationen, görs ansatsen

$y=He^{kx}\,$

Har den karaktäristiska ekvationen k som r-faldig rot, blir ansatsen

$Hx^re^{kx}\,$

Exempel

Lös ekvationen

$y''+3y'+2y=x^3-4x+1\,$

Lösningen till den homogena ekvationen är

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}\,$

Gör ansatsen

$y=ax^3+bx^2+cx+d\,$

Sätt in denna funktion i differentialekvationen och jämför de olika x-potenserna. Då fås

$\begin{cases} 2a = 1\\ 9a + 2b = 0\\ 6a+6b+2c= -4\\ 2b+3c+2d=1\\ \end{cases}$

eller

$a=\frac{1}{2},\quad b=-\frac{9}{4},\quad c=\frac{13}{4},\quad d=-\frac{17}{8}\,$

Den partikulära lösningen blir

$y=\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{4}x^2+\frac{13}{4}x-\frac{17}{8}\,$

Allmänna lösningen till den fullständiga ekvationen är alltså

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+\frac{1}{2}x^2-\frac{9}{4}x^2+\frac{13}{4}x-\frac{17}{8}\,$

System av ordinära differentialekvationer

Systemet

$\begin{cases} \frac{dy_1}{dx} + a_{11}y_1 + a_{12}y_2 +...+ a_{1n}y_n &=0\\ \frac{dy_2}{dx} + a_{21}y_1 + a_{22}y_2 +...+ a_{2n}y_n &=0\\ \vdots\\ \frac{dy_n}{dx} + a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2 +...+ a_{nn}y_n &=0\\ \end{cases}$

De sökta funktionerna är

$y_1,y_2,...,y_n\,$

och koefficienterna

$a_{11}, a_{12},...,a_{nn}\,$

är funktioner av den oberoende variabeln x.

Detta system har många egenskaper gemensamma med de linjära homogena differentialekvationerna. Man får på samma sätt lösningen till det fullständiga systemet, det vill säga då högerleden är funktioner

$\psi_1(x), \psi_2(x),..., \psi_n(x)\,$

av den oberoende variabeln, genom att till lösningen av det homogena systemet addera en speciell lösning till det fullständiga systemet.

Man kan också använda metoden med variation av koefficienterena.

System med konstanta koefficienter

För korthets skull behandlas här endast system med tre obekanta funktioner.

$\begin{cases} y_1' + a_{11} y_1 + a_{12} y_2 + a_{13}y_3 &=0\\ y_2' + a_{21} y_1 + a_{22} y_2 + a_{23}y_3 &=0\\ y_3' + a_{31} y_1 + a_{32} y_2 + a_{33}y_3 &=0\\ \end{cases}$

Man gör ansatsen

$y_1=\alpha_1 e^{\lambda x}, y_2=\alpha_2 e^{\lambda x}, y_3=\alpha_3 e^{\lambda x}\,$

Då fås följande villkor:

$\begin{cases} (a_{11}+\lambda)\alpha_1 + a_{12}\alpha_2 + a_{13}\alpha_3 &=0\\ a_21 \alpha_1 + (a_{22}+\lambda)\alpha_2 + a_{23}\alpha_3 &=0\\ a_{31}\alpha_1 + a_{32}\alpha_2 + (a_{33}+\lambda)\alpha_3 &=0\\ \end{cases}$

För lösbarhet fordras

$\begin{vmatrix} a_{11} + \lambda &a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22}+\lambda &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33}+\lambda \end{vmatrix} = 0$

Evaluering av determinanten ger 3 $\lambda$-värden,

$\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3\,$

som för enkelhets skull antas vara olika. Till vart och ett av dessa bestäms motsvarande $\alpha$-värden:

$\alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}; \quad \alpha_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}; \quad \alpha_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33};\,$

I var och en av dessa tre grupper kan ett värde väljas godtyckligt, till exempel

$\alpha_{12} = 1;\quad \alpha_{22}=1; \quad \alpha_{32}=1;\,$

Allmänna lösningen blir

$\begin{cases} y_1 = C_1\alpha_{11} e^{\lambda_1 x} + C_2\alpha_{21} e^{\lambda_2 x} + C_3\alpha_{31} e^{\lambda_3 x}\\ y_2 = C_1\alpha_{12} e^{\lambda_1 x} + C_2\alpha_{22} e^{\lambda_2 x} + C_3\alpha_{32} e^{\lambda_3 x}\\ y_3 = C_1\alpha_{13} e^{\lambda_1 x} + C_2\alpha_{23} e^{\lambda_2 x} + C_3\alpha_{33} e^{\lambda_3 x}\\ \end{cases}$

där

$C_1, C_2, C_3\,$

är godtyckliga konstanter.

Exempel

Lös systemet

$\begin{cases} y_1' - y_1-2y_2+y_3 &=0\\ y_2'+y_1-2y_2-y_3 &=0\\ y_3'-y_1-3y_2+2y_3 &=0 \end{cases}$

Determinanten blir

$\begin{vmatrix} -1 + \lambda &-2 & 1\\ 1 &-2+\lambda &-1\\ -1 &-3 &2+\lambda \end{vmatrix} = 0$

med rötterna

$\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad\lambda_3 = -2\,$

vilket ger

$\alpha_{11} =3,\alpha_{12} =1,\alpha_{13} =2;\,$

$\alpha_{21} =1,\alpha_{22} =1,\alpha_{23} =1;\,$

$\alpha_{31} =-3,\alpha_{32} =1,\alpha_{33} =-7;\,$

Lösningen blir

$\begin{cases} y_1 = 3C_1 e^x + C_2 e^{2x}-3C_3 e^{-2x}\\ y_2 = C_1 e^x + C_2 e^{2x}+C_3 e^{-2x}\\ y_3 = 2C_1 e^x + C_2 e^{2x}-7C_3 e^{-2x}\\ \end{cases}$

Bibliografi

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
• Hartman, Philip, Ordinary Differential Equations, 2nd Ed., Society for Industrial & Applied Math, 2002. ISBN 0-89871-510-5.
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60349-0
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8

Se även

• linjär differentialekvation
• homogen differentialekvation
• autonom differentialekvation
• differentialekvationer av första ordningen
• Partiell differentialekvation
• Sturm-Liouvilles