Serie (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En serie är en summa av ett uppräkneligt oändligt antal termer. Om termerna minskar tillräckligt fort kan summan av den oändliga serien vara ändlig, trots att antalet termer är oändligt. Man säger då att den konvergerar.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Formellt definierar man en serie som en följd  \{s_k\}_{k=0}^{\infty} av delsummor till en given följd  \{a_k\}_{k=0}^{\infty} där  s_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k . Om denna följd har ett gränsvärde säger man att serien är konvergent. Saknas gränsvärde säger man att serien är divergent. Existerar ett gränsvärde kallas detta för seriens summa och brukar skrivas med vanligt summatecken, med skillnaden att ett oändlighetstecken skrivs där man normalt skriver den övre gränsen. Man gör alltså följande definition:

\sum_{k = 0}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} a_k.

Ofta används även detta skrivsätt när följden  s_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k saknar gränsvärde, och man säger då att serien är divergent.

Dock kan serier som är divergenta i den vanliga meningen ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Bland dessa kan nämnas Cesarosummering, Abelsummering och Borelsummering. Även analytiska fortsättningar kan användas för att tilldela serier summor.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Till exempel kan e beräknas med serien:

e = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdot\cdot\cdot

Detta är ett exempel på en Taylorutveckling.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Arne Persson, Lars-Christer Böiers, Analys i en variabel, Studentlitteratur, andra upplagan 2001. ISBN 91-44-02056-2.
  • Sven Spanne, System och Transformer I Tidsdiskreta lineära system och komplex analys, KFS AB 2005.