Sfäriska koordinater

Sfäriska koordinater är en tredimensionell utveckling av begreppet polära koordinater, och en nära släkting till cylindriska koordinater. En punkt P:s koordinater beskrivs med hjälp av två vinklar och ett avstånd:

a ≥ 0 är avståndet från origo till punkten P. Detta kallas även ofta för radien.

0 ≤ φ ≤ π är vinkeln mellan den positiva z-axeln och linjen från origo till P. Denna kallas ofta kolatitud.

0 ≤ θ < 2π är vinkeln mellan den positiva x-axeln och projektionen av linjen från origo till P på xy-planet. Denna kallas ofta longitud.

Omvandlingen från sfäriska till kartesiska koordinater (rektangulära koordinater) gör man så här:

$\begin{cases} x &= a \, \sin\varphi \, \cos\theta \\ y &= a \, \sin\varphi \, \sin\theta \\ z &= a \, \cos\varphi. \end{cases}$

$\operatorname{d}x \operatorname{d}y \operatorname{d}z = a^2 \sin \varphi \operatorname{d}a \operatorname{d} \varphi \operatorname{d} \theta$

och så här omvandlar man från kartesiska till sfäriska koordinater:

$\begin{cases} a = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = \arctan{(y/x)} \\ \varphi = \pi/2 - \arctan{(z / \sqrt{ x^2 + y^2} )} \end{cases}$.

Detta är hur matematiker brukar använda symbolerna. Inom fysiken är beteckningarna vanligen de motsatta, så att θ är kolatitud och φ longitud.

En variant av sfäriskt koordinatsystem är kartografins longitud-latitud-system, vars origo befinner sig i jordens medelpunkt och vars x-y-plan motsvarar ekvatorplanet. I denna typ av angivelser förutsätts dock radien vara konstant, och definitionsmängden, som egentligen är tredimensionell för ett sfäriskt koordinatsystem, plattas därför ihop till en krökt tvådimensionell jordyta.