Sigma-algebra

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.

Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa, "mycket konstiga", delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivning[redigera | redigera wikitext]

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj  \mathcal{A} av delmängder av X som är sådan att

  •  \mathcal{A} är icke-tom:  X \in \mathcal{A}
  •  \mathcal{A} är sluten under komplementsbildning:  E \in \mathcal{A} \Rightarrow X \setminus E \in \mathcal{A} .
  •  \mathcal{A} är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna  \{U_i\}_{i=1}^{\infty} tillhör  \mathcal{A} , så är deras union  \cup_{i=1}^\infty U_i också ett element i \mathcal{A}.

Om \mathcal{A} är en sigma-algebra i X kallas ofta paret (X, \mathcal{A}) ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Ett sätt att visualisera detta är följande.

Låt X vara en LEGOTM-modell och delmängder till X vara bitar av modellen. En sigma-algebra på X kan då uppfattas som en påse (mängd) som innehåller modellen och dess bitar.

Snitt och unioner av sigma-algebror[redigera | redigera wikitext]

Låt A och B vara två sigma-algebror på mängden X.

  • Snittet A \cap B är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både A och B.
  • Unionen A \cup B är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen A \cup B inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna A och B är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen
A \cup B = \{ \emptyset, X, \{0\}, \{1\}, \{1,2\}, \{0,2\} \}.
Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen A \cup B.

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder[redigera | redigera wikitext]

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, F_i , av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

C \subseteq F_i.

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas \sigma(C); den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

\sigma(C) = \bigcap_i F_i.

Exempel: Borel sigma-algebra[redigera | redigera wikitext]

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebranX.

Exempel: Produkt sigma-algebra[redigera | redigera wikitext]

Låt ( X, F ) och ( Y, G ) vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten X \times Y skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna F och G.

En första tanke kanske är att bilda familjen M bestående av alla produkter A \times B, där A är ett element i F och B ett element i G:
F \times G = \{ A \times B : A \in F, B \in G \}
Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på X \times  Y bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.
Låt F = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebranX och G = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen
F \times G = \{ \emptyset \times \emptyset , \emptyset  \times Y, X \times \emptyset , X \times Y \}.
Om vi tar de två elementen A = \emptyset  \times Y och B = X \times \emptyset, så måste deras union
A \cup B = \{ \emptyset \times Y, X \times \emptyset \}
vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten X \times Y.

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på X \times Y är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen  F \times G ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är F \otimes G = \sigma(F \times G).

Sigma-algebra genererad av en avbildning[redigera | redigera wikitext]

Låt f : X \longrightarrow Y vara en avbildning från det mätbara rummet (X,\mathcal{F}) till det mätbara rummet (Y,\mathcal{G}). Detta innebär att familjen f^{-1}(\mathcal{G}) är en delfamilj av sigma-algebran \mathcal{F}. Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

f^{-1}(G) = \{x \in X : f(x) \in G\}, \qquad G \in \mathcal {G}.

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

\sigma(f) = f^{-1}(\mathcal{G}).

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Låt f : X \longrightarrow Y och g : X \longrightarrow Y vara två avbildningar från det mätbara rummet (X,\mathcal{F}) till det mätbara rummet (Y,\mathcal{G}).

Unionen f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G}) av det två sigma-algebrorna f^{-1}(\mathcal{G}) och g^{-1}(\mathcal{G}) är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på X; det är däremot sigma-algebran

\sigma\left(f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})\right).

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

 \sigma (f,g) \, .

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran \sigma({f_i : i \in I}) genererad av avbildningar f_i : X \longrightarrow Y från det mätbara rummet (X,\mathcal{F}) till det mätbara rummet (Y,\mathcal{G}).

Doob-Dynkins lemma[redigera | redigera wikitext]

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet (X,\mathcal{F}) till det mätbara rummet (Y,\mathcal{G}):

f,g : X \longrightarrow Y.

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

g = F \circ f, \qquad F : Y \longrightarrow Y.

Skrivet på "matematiska":

g \in \sigma(f) \quad \Longleftrightarrow \quad \exists \, F : g = F \circ f.

Bevis av Doob-Dynkins lemma[redigera | redigera wikitext]

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:

g^{-1}(\mathcal{G}) \subseteq f^{-1}(\mathcal{G}).

Varje element A \in \mathcal{G} motsvaras då av ett element B_A \in \mathcal{G} som är sådant att

g^{-1}(A) = f^{-1}(B_A).\,

Denna association definierar en mätbar avbildning, F: Y \longrightarrow Y på mängden Y:

F^{-1}(A) = B_A, \quad A \in \mathcal{G}.

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

g^{-1}(A) = f^{-1}(F^{-1}(A)) = (F \circ f)^{-1}(A), \quad A \in \mathcal{G}.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.