Sigma-algebra

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse då man studerar måtteori och integrationsteori.

Syftet med begreppet sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig om hur ett föremål är beskaffat är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Nu kan man inte splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras i är begreppet sigma-algebra. Genom att utesluta vissa, "mycket konstiga", delmängder av X får man en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivning

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj $\mathcal{A}$ av delmängder av X som är sådan att

• $\mathcal{A}$ är icke-tom: $X \in \mathcal{A}$
• $\mathcal{A}$ är sluten under komplementsbildning: $E \in \mathcal{A} \Rightarrow X \setminus E \in \mathcal{A}$.
• $\mathcal{A}$ är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna $\{U_i\}_{i=1}^{\infty}$ tillhör $\mathcal{A}$, så är deras union $\cup_{i=1}^\infty U_i$ också ett element i $\mathcal{A}$.

Om $\mathcal{A}$ är en sigma-algebra i X kallas ofta paret $(X, \mathcal{A})$ ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Ett sätt att visualisera detta är följande.

Låt X vara en LEGO^TM-modell och delmängder till X vara bitar av modellen. En sigma-algebra på X kan då uppfattas som en påse (mängd) som innehåller modellen och dess bitar.

Snitt och unioner av sigma-algebror

Låt $A$ och $B$ vara två sigma-algebror på mängden X.

• Snittet $A \cap B$ är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både $A$ och $B$.
• Unionen $A \cup B$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen $A \cup B$ inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna $A$ och $B$ är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen

$A \cup B = \{ \emptyset, X, \{0\}, \{1\}, \{1,2\}, \{0,2\} \}.$

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen $A \cup B$.

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, $F_i$, av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

$C \subseteq F_i.$

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas $\sigma(C)$; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

$\sigma(C) = \bigcap_i F_i.$

Exempel: Borel sigma-algebra

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

Exempel: Produkt sigma-algebra

Låt $( X, F )$ och $( Y, G )$ vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten $X \times Y$ skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna $F$ och $G$.

En första tanke kanske är att bilda familjen $M$ bestående av alla produkter $A \times B$, där A är ett element i F och B ett element i G:

$F \times G = \{ A \times B : A \in F, B \in G \}$

Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på $X \times Y$ bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.

Låt $F$ = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och $G$ = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen

$F \times G = \{ \emptyset \times \emptyset , \emptyset \times Y, X \times \emptyset , X \times Y \}.$

Om vi tar de två elementen $A = \emptyset \times Y$ och $B = X \times \emptyset$, så måste deras union

$A \cup B = \{ \emptyset \times Y, X \times \emptyset \}$

vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten $X \times Y$.

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på $X \times Y$ är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen $F \times G$ ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är $F \otimes G = \sigma(F \times G).$

Sigma-algebra genererad av en avbildning

Låt $f : X \longrightarrow Y$ vara en avbildning från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$. Detta innebär att familjen $f^{-1}(\mathcal{G})$ är en delfamilj av sigma-algebran $\mathcal{F}$. Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

$f^{-1}(G) = \{x \in X : f(x) \in G\}, \qquad G \in \mathcal {G}.$

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

$\sigma(f) = f^{-1}(\mathcal{G}).$

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar

Låt $f : X \longrightarrow Y$ och $g : X \longrightarrow Y$ vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$.

Unionen $f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})$ av det två sigma-algebrorna $f^{-1}(\mathcal{G})$ och $g^{-1}(\mathcal{G})$ är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på $X$; det är däremot sigma-algebran

$\sigma\left(f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})\right)$.

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

$\sigma (f,g) \,$.

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran $\sigma({f_i : i \in I})$ genererad av avbildningar $f_i : X \longrightarrow Y$ från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$.

Doob-Dynkins lemma

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$:

$f,g : X \longrightarrow Y.$

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

$g = F \circ f, \qquad F : Y \longrightarrow Y.$

Skrivet på "matematiska":

$g \in \sigma(f) \quad \Longleftrightarrow \quad \exists \, F : g = F \circ f.$

Bevis av Doob-Dynkins lemma

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:

$g^{-1}(\mathcal{G}) \subseteq f^{-1}(\mathcal{G}).$

Varje element $A \in \mathcal{G}$ motsvaras då av ett element $B_A \in \mathcal{G}$ som är sådant att

$g^{-1}(A) = f^{-1}(B_A).\,$

Denna association definierar en mätbar avbildning, $F: Y \longrightarrow Y$ på mängden Y:

$F^{-1}(A) = B_A, \quad A \in \mathcal{G}.$

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

$g^{-1}(A) = f^{-1}(F^{-1}(A)) = (F \circ f)^{-1}(A), \quad A \in \mathcal{G}.$