Sinus

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Sinusfunktionen kan tolkas som projektionen på y-axeln av en punkt, bestämd av medelpunktsvinkeln ω, på enhetscirkeln

Sinus, betecknad sin, är en trigonometrisk funktion. För en enhetsvektor som bildar vinkeln ω med x-axeln i ett tvådimensionellt kartesiskt koordinatsystem anger sin(ω) vektorns y-koordinat. Den var ursprungligen en avbildning av en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangelkvoten mellan motstående katet och triangelns hypotenusa

Sinusfunktionen är en udda och periodisk funktion med perioden 2π. Den är nära sammankopplad med cosinusfunktionen samt exponentialfunktionen och sinus hyperbolicus.

Sinusfunktionen är vanligt förekommande i beskrivningar av mekaniska och andra fysikaliska system, vilket beror på att den harmoniska svängningsrörelsen som beskrivs av

y = A\sin(\omega t + \varphi)

är den mest grundläggande naturliga svängningsrörelsen.

Sinusfunktionens graf[redigera | redigera wikitext]

Konstruktion av sinusfunktionens graf

Animationen visar konstruktionen av en graf till y = sin x, där x är vinkeln i radianer, genom användning av enhetscirkeln. Den blå bågen på enhetscirkeln och den blå linjen till höger har samma längd, lika med sinusfunktionens argument i radianer.

Analytiska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Sinus är en udda funktion och periodisk med perioden 2π . Den har derivatan

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x

och den primitiva funktionen

\int \sin x \;dx = -\cos x.

Sinus är en elementär, överallt analytisk funktion som för godtyckliga komplexa argument kan definieras i termer av exponentialfunktionen som

\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

med tillhörande Taylorserie

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots

För imaginära tal h gäller även att

\ \mathrm{Im}(e^h) = \sin(\mathrm{Im}(h)).

Omkring z = 0 har sin z följande utseende i det komplexa talplanet:

Fixpunktsiteration av xn+1 = sin xn med startvärdet x1 = 2.

Sinusfunktionen har den triviala fixpunkten x = 0 för alla reella begynnelsevärden. Med andra ord är x = 0 den enda reella lösningen till ekvationen x = sin x. (Motsvarande punkt för cosinus är x ≈ 0,73908513.)

Sinusfunktionen kan representeras som ett kedjebråk

 \sin x =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}

Alla dessa analytiska sammanhang kräver att argumentet x uttrycks i radianer.

Serier och integraler innehållande sinus[redigera | redigera wikitext]

Värdet av sin 1 + sin 2 + ... + sin n som en funktion av n (blå punkter), samt medelvärdet ≈ 0,915 (röd linje).

Sinus uppfyller

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n} = \frac{\pi-1}{2}.

Delsummorna till den divergenta serien

\lim_{N\to\infty} s_N = \sum_{n=1}^N \sin n

ligger spridda kring ett medelvärde

a = \lim_{n\to\infty}\; \frac{1}{2} \, [\max(s_1, \ldots, s_n) +
+ \min(s_1, \ldots, s_n)] = 0\mathrm{,}91524386\ldots

Detta värde kan beräknas exakt genom att summera den divergenta serien som en geometrisk serie:

a = \sum_{n=1}^\infty \sin n = \mathrm{Im} \left[ \sum_{n=1}^\infty e^{n i} \right] = \mathrm{Im} \left[ -\frac{e^i}{e^i - 1} \right] = \left(2 \tan \frac{1}{2}\right)^{-1}.

Arean under en sinuskurva mellan två nollpunkter ges av

\int_0^\pi \sin x \, dx = 2

och kurvans längd av

\int_0^\pi \sqrt{1+\cos^2 x} \, dx = 2 \sqrt{2} \; E\left(\frac{1}{2}\right) = 3\mathrm{,}82019779\ldots

där E betecknar en fullständig elliptisk integral.

Två viktiga icke-elementära funktioner är sinusintegralerna,

{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

och

{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}.

Potenser av sinus kan integreras i termer av den hypergeometriska funktionen 2F1. Specifikt gäller för Re(s) > -1 att

\int_0^{2\pi} \sin^s{x} \; dx = (1+(-1)^s) \, \sqrt \pi \; \frac{\Gamma(1/2  + s/2)}{\Gamma(1+s/2)}

där Γ betecknar gammafunktionen.

Exakta värden[redigera | redigera wikitext]

x (vinkel) sin x
Grader Radianer
0 0
180° \pi
15° \frac{\pi}{12} \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
165° \frac{11 \cdot \pi}{12}
30° \frac{\pi}{6} \frac{1}{2}
150° \frac{5 \cdot \pi}{6}
45° \frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{1}{2}}
135° \frac{3 \cdot \pi}{4}
60° \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2}
120° \frac{2 \cdot \pi}{3}
75° \frac{5 \cdot \pi}{12} \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
105° \frac{7 \cdot \pi}{12}
90° \frac{\pi}{2} 1
\sin\frac{\pi}{60}=\sin 3^\circ=\tfrac{1}{16} \left[2(1-\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)(\sqrt3+1)\right]\,
\sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6(5-\sqrt5)}-\sqrt5-1\right]\,
\sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt2(\sqrt5+1)-2\sqrt{5-\sqrt5}\right]\,
\sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2(5+\sqrt5)}-\sqrt3(\sqrt5-1)\right]\,
\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)
\sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5-\sqrt5}-\sqrt2(\sqrt3-1)(1+\sqrt5)\right]\,
\sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=\tfrac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{2}})
\sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left[\sqrt3(\sqrt5+1)-\sqrt2\sqrt{5-\sqrt5}\right]\,
\sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]\,
\sin\frac{11\pi}{60}=\sin 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1+\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]\,
\sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=\tfrac14[\sqrt{2(5-\sqrt5)}]\,
\sin\frac{13\pi}{60}=\sin 39^\circ=\tfrac1{16}[2(1-\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(\sqrt5+1)]\,
\sin\frac{7\pi}{30}=\sin 42^\circ=\frac{\sqrt6\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt5+1}{8}\,

Numerisk beräkning[redigera | redigera wikitext]

För små argument kan sinus effektivt approximeras med dess Taylorpolynom. Exempelvis ger uppskattningen

\sin x \approx x-\frac{x^3}{3!}

ett absolutfel mindre än 10-7 för |x| ≤ 0,1 och ett absolutfel mindre än 10-2 för |x| ≤ 1. Metoden är dock opraktisk för stora argument, eftersom flera stora inledande termer uppkommer innan serien konvergerar. Om x = 25 krävs exempelvis termer till och med 67:e ordningen för att erhålla en approximation som stämmer med en decimal. Konvergensen är visserligen snabb därefter, men kancelleringen av inledande termer med växlande tecken leder till stora fel vid bruk av flyttalsaritmetik. I fallet x = 25 resulterar en summering av Taylorserien bara i fem korrekta decimaler om 16 decimalers flyttal (double) används. Lämpligt är att i stället först subtrahera närmaste heltalsmultipel av 2π från argumentet, eller med hjälp av trigonometriska identiteter på annat sätt reducera argumentet så att det ligger i ett litet intervall nära 0.

Tekniska tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Sinusformad växelstorhet

Inom till exempel eltekniken är beskrivningar av sinusformade förlopp vanliga. Ett allmänt sinusformat växelförlopp kan skrivas

a=\hat a \sin(\omega t + \alpha)= A\sqrt 2\sin(\omega t + \alpha)\,

där

a  är ögonblicksvärdet (momentanvärdet)
\hat a  är toppvärdet (maximivärdet, amplituden)
\omega  är vinkelfrekvensen i radianer per sekund
t  är tiden
\alpha  är fasvinkeln
A  är effektivvärdet

Tiden för en period, perioden eller periodtiden är

T=\frac{2\pi}{\omega}\,

Antalet perioder per sekund, periodtalet eller frekvensen är

f=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{T}\,

Historia och etymologi[redigera | redigera wikitext]

Begreppet sinus härstammar från Indien, men ordet sinus från latin. I klassisk tid användes inte sinus utan en besläktad trigonometrisk funktion, kordan. De två funktionerna är sammankopplade genom att halva kordan för en vinkel är detsamma som sinus för halva den vinkeln. I Indien infördes sinusfunktionen, som från början betecknades med ett ord för halvkorda, jya-ardha, vilket emellanåt förkortades till jiva. När araberna övertog begreppet, översatte de inte det indiska ordet, utan lånade det i formen jiba. Emellertid missuppfattades detta av européer som läste arabiska texter, på grund av att den arabiska skriften saknade bokstäver för vokaler. Ordet jb lästes som det arabiska ordet jaib som betydde buk, vilket senare översattes till latin, som sinus vilket alltså bland annat betyder buk på latin. Det latinska ordet sinus användes också för dräktveck (vid bröstet), som kunde användas som en sorts ficka.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • A History of Mathematics, an introduction, andra upplagan, av Victor J. Katz, ISBN 0-321-01618-1