Sinussatsen

Sinussatsen är inom trigonometrin en sats om trianglar. För en triangel med sidlängderna $a$, $b$ och $c$, och med de motstående vinklarna betecknade med $\alpha$, $\beta$ och $\gamma$ enligt

så gäller enligt sinussatsen att

$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$

Det tvetydiga fallet

Vid tillämpning av sinussatsen existerar ett tvetydigt fall där två olika trianglar svarar mot den givna beskrivningen om det enda som är känt om triangeln är vinkeln A och sidorna a och b.

Det finns då två möjliga värden för vinkeln B beroende på förhållandet mellan a och b:

$B = \arcsin {b \sin A \over a}$

eller

$B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}$

Härledning

Antag en triangel med sidorna a, b, och c och med de motstående vinklarna A, B och C. En linje, vars längd betecknas med h, är dragen från hörnet för vinkeln C till dess motstående sida c och som delar figuren i två rätvinkliga trianglar.

Det framgår då att

$\sin A = \frac{h}{b}$ och $\; \sin B = \frac{h}{a}$

Vilket är ekvivalent med

$h = b\,\sin A = a\,\sin B$

och

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$

Om linjen dras mellan vinkeln A och sidan a och samma procedur upprepas blir resultatet

$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Se även

• Areasatsen
• Cosinussatsen
• Tangenssatsen