Sinussatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Sinussatsen är inom trigonometrin en sats om trianglar. För en triangel med sidlängderna a, b och c, och med de motstående vinklarna betecknade med α, β och γ enligt

Triangel-beteckningar.svg

så gäller enligt sinussatsen att

\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}

Det tvetydiga fallet[redigera | redigera wikitext]

Sine Law - Ambiguous Case.svg

Vid tillämpning av sinussatsen existerar ett tvetydigt fall där två olika trianglar svarar mot den givna beskrivningen om det enda som är känt om triangeln är vinkeln A och sidorna a och b.

Det finns då två möjliga värden för vinkeln B beroende på vinkeln C:

B = \arcsin {b \sin A \over a}

eller

B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Law of sines proof.svg

Antag en triangel med sidorna a, b och c och med de motstående vinklarna A, B och C. En linje med längden h och vinkelrät mot sidan c är dragen från hörnet C till motstående sida c eller sidan c:s förlängning.

Då är

\sin A = \frac{h}{b}

och

\; \sin B = \frac{h}{a}

Vilket är ekvivalent med

h = b\,\sin A = a\,\sin B

och

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}

Om linjen dras mellan vinkeln A och sidan a och samma procedur upprepas blir resultatet

\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Se även[redigera | redigera wikitext]