Skalärprodukt

I ett euklidiskt rum kan skalärprodukten ges den geometriska tolkningen som a:s projektion på b multiplicerad med längden av b.

Skalärprodukt, också kallad inre produkt, är inom vektoralgebran en operation på två vektorer a och b vars resultat är en skalär och som i ett euklidiskt rum kan definieras som

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$

där θ är den minsta vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten kan tolkas som längden av a:s projektion på b multiplicerad med b:s längd.

Om skalärprodukten av två nollskilda vektorer a och b är noll måste cos(θ) vara noll, det vill säga vektorerna a och b är vinkelräta mot varandra.

Om vektorernas komponenter är kända i en ortonormerad bas kan skalärprodukten även skrivas som

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

Mer generellt gäller att

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{T}A\mathbf{b}$

där A är en inverterbar, positivt definit n×n-matris och a^T är transponatet av a, (a och b betraktas här som 1×n-matriser).

I mer abstrakta rum, där man inte lika självklart kan tala om längder och vinklar, definieras de senare ofta av skalärprodukten.

Märk särskilt att skalärprodukten är en skalär, ofta ett reellt tal, och inte en vektor – därav dess namn. Ibland används ordet "skalärmultiplikation" i betydelsen multiplikation av en vektor med en skalär, vilket innebär en förväxlingsrisk.

Egenskaper

Följande egenskaper gäller om a, b, och c är reella vektorer.

Skalärproduktern är kommutativ:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

Skalärproduktern är distributiv för vektoraddition:

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

Skalärproduktern är bilinjär om r är en skalär:

$\mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})$

Se även

• Inre produktrum