Sluten differentialform

En differentialform $\omega = u_1(\bar{x})dx_1 + u_2(\bar{x})dx_2 + \cdots + u_k(\bar{x})dx_k$ av klass $\textbf{C}^1$ (minst en gång kontinuerligt deriverbar) säges vara sluten om

$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$

eller, i annan formalism, om $d\omega = 0$. d betecknar här den yttre derivatan. Notera att om $\omega$ är en k-form, så är $d \omega$ en k+1-form.

Vi ser att en differentialform i $\textbf{R}^3$ är sluten om och endast om det motsvarande vektorfältet är rotationsfritt ($\nabla \times \bar{u} = 0$).

Relation mellan slutna och exakta differentialformer

En exakt differentialform är alltid sluten, eftersom $d^2 \omega = 0$ för varje differentialform $\omega$. I ett enkelt sammanhängande område, och i synnerhet i ett stjärnformat område, är varje sluten differentialform exakt enligt Poincarés lemma.

I allmänhet gäller dock inte att varje sluten differentialform är exakt, och inom topologi studeras detta med hjälp av de Rham-kohomologi.

de Rham-kohomologi

Låt M vara en mångfald, och låt mängden av k-former på M betecknas med $\Omega(M)$. Vi låter nu $d_k$ beteckna den yttre derivatan, verkande på k-former på M: $d_k: \Omega^{k}(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)$

Den k:te de Rham-kohomologigruppen $H^k_{dR}(M)$ definieras nu som $\frac{\ker(d_k)}{im(d_{k-1})}$, eller med andra ord mängden av slutna differentialformer modulo exakta former.

Exempel: För en n-sfär $\mathbf{S}^n$ gäller att $H^0_{dR}(S^n) \cong H^n_{dR}(S^n) \cong \mathbb{R}$, medan $H^k_{dR}(S^n) = 0$ för alla andra k. För sådana k är alltså alla slutna differentialformer exakta.