Sluten differentialform

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En differentialform \omega = u_1(\bar{x})dx_1 + u_2(\bar{x})dx_2 + \cdots + u_k(\bar{x})dx_k av klass \textbf{C}^1 (minst en gång kontinuerligt deriverbar) säges vara sluten om


\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \frac{\partial u_j}{\partial x_i}

eller, i annan formalism, om d\omega = 0. d betecknar här den yttre derivatan. Notera att om  \omega är en k-form, så är  d \omega en k+1-form.

Vi ser att en differentialform i \textbf{R}^3 är sluten om och endast om det motsvarande vektorfältet är rotationsfritt (\nabla \times \bar{u} = 0).

Relation mellan slutna och exakta differentialformer[redigera | redigera wikitext]

En exakt differentialform är alltid sluten, eftersom  d^2 \omega = 0 för varje differentialform  \omega . I ett enkelt sammanhängande område, och i synnerhet i ett stjärnformat område, är varje sluten differentialform exakt enligt Poincarés lemma.

I allmänhet gäller dock inte att varje sluten differentialform är exakt, och inom topologi studeras detta med hjälp av de Rhamkohomologi.

de Rhamkohomologi[redigera | redigera wikitext]

Låt M vara en mångfald, och låt mängden av k-former på M betecknas med  \Omega(M). Vi låter nu d_k beteckna den yttre derivatan, verkande på k-former på M:  d_k: \Omega^{k}(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)

Den k:te de Rhamkohomologigruppen  H^k_{dR}(M) definieras nu som  \frac{\ker(d_k)}{im(d_{k-1})} , eller med andra ord mängden av slutna differentialformer modulo exakta former.

Exempel: För en n-sfär  \mathbf{S}^n gäller att  H^0_{dR}(S^n) \cong H^n_{dR}(S^n) \cong \mathbb{R}, medan  H^k_{dR}(S^n) = 0 för alla andra k. För sådana k är alltså alla slutna differentialformer exakta.