Slutet hölje

Från Wikipedia

Det slutna höljet till en mängd M är inom matematik är mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Innehåll

1 Definition
2 Egenskaper
3 Exempel
4 Slutet hölje som operator

[redigera] Definition

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s hopningspunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

$\bar{M} = M \cup L$

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

$\overline{M} = M \cup \partial M$

[redigera] Egenskaper

Det slutna höljet har följande egenskaper:

$\bar{M} \supset M$ .

$\bar{M}$ är den minsta slutna mängden som innehåller M.

$\bar{M}$ är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.

M

är sluten om och endast om $\bar{M} = M$ .

Om $M \subset N$ så följer att $\bar{M} \subset \bar{N}$ .

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

[redigera] Exempel

I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och $\bar{X} = X$ .
Det slutna höljet till det öppna intervallet $]0,1[$ är det slutna intervallet $[0,1]$ .
Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
I komplexa talplanet är det slutna höljet av $|z|<1 \,$ (den öppna skivan) lika med $|z| \leq 1$ (den slutna skivan).

[redigera] Slutet hölje som operator

I ett rum X, låt M vara en mängd, $M -$ det slutna höljet till M och $M o$ det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre: