Slutet hölje

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik är det slutna höljet till en mängd M mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s randpunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

\overline{M} = M \cup L

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

\overline{M} = M \cup \partial M

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det slutna höljet har följande egenskaper:

 M \subseteq \overline{M} .
 \overline{M} är den minsta slutna mängden som innehåller M.
 \overline{M} är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.
 M är sluten om och endast om  \overline{M} = M .
Om  M \subset N så följer att  \overline{M} \subset \overline{N}.

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och  \overline{X} = X .
  • Det slutna höljet till det öppna intervallet ]0,1[ är det slutna intervallet [0,1].
  • Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
  • I komplexa talplanet är det slutna höljet av  |z|<1 \, (den öppna skivan) lika med  |z| \leq 1 (den slutna skivan).

Slutet hölje som operator[redigera | redigera wikitext]

I ett rum X, låt M vara en mängd,  M^- det slutna höljet till M och  M^o det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

  • M^- =  X  \setminus (X \setminus M)^o
  • M^o = X \setminus (X \setminus M)^-

Där  X \setminus M är komplementet till M i X. Kan även utläsas X (mängd)minus M.