Spline

Spline är ett begrepp inom numerisk analys.

En kontinuerlig funktion $f$ säges vara en spline om den är styckvis polynom och har kontinuerlig förstaderivata. Särskilt vanliga är kubiska splines, dvs funktioner som är styckvis polynom av grad högst tre.

kvadratisk spline med 6 noder i rött

Allmänt

Splines används framförallt för approximering inom analysen. Approximation med hjälp av polynom sker antingen genom att höja polynomets gradtal dvs. exponenten, eller genom att dela in funktionen i mindre intervall. Splines utnyttjar den senare varianten. Styckvis polynom av bestämd grad med en kontinuerlig förstaderivata delas in på intervall som tillsammans ger en kontinuerlig kurva. Med detta tillvägagångssätt måste visserligen beaktas vilket intervall som varje polynom är bestämt på, men fördelen är att polynomen förblir av låg grad. På så sätt kan vi använda oss av simpla matematiska metoder så som interpolation mellan noder för att bestämma polynomen på varje enskilt delintervall. Ytterligare en fördel är att avvikelser på något av polynomet endast påverkar hela funktionen lokalt och inte globalt eftersom den bara definieras på ett visst intervall.

Ordet spline härstammar från skeppsbygget där tunna elastiska material med en skåra (på engelska så kallade “splines”) användes vid planritningar och modellbygge. Dessa kunde böjas efter speciella vikter för att skapa kontinuerliga kurvor som användes som underlag för planritningar och till modellbygget. Spline-funktionen infördes för första gången av Schoenberg.

Definition

Om x₁, x₂, ... ,x_n är en strängt växande serie nummer och om x₁, x₂, ... ,x_n är noderna, har en spline-funktion S(x) följande egenskaper:

1. På varje intervall (x_i,x_i+1) för i = 0,1, ... ,n bestäms S(x) av ett polynom med grad m eller lägre
2. S(x) och dess derivata av grad 1,2, ... , m-1 är kontinuerliga på hela intervallet för S(x)

Varianter

Kubiska splines

Kubiska splines är en av de mest använda formen av splines. Den utgörs av polynom av högst tredje graden, vilket innebär att den är både lätthanterlig och ger en relativt exakt approximation samt en jämn, slät kurva.

B-splines

B-spline är en förkortning för bas-spline och beskriver en spline som inte nödvändigtvis måste gå genom noderna utan som kan approximeras så att funktionen går igenom gränspunkterna men inte punkterna däremellan.

Exempel

Konstruera en kubisk spline S(x) som går igenom punkterna

$(3,6) (5,1) (7,4)$

och slutar vid intervallgränserna.

Det kommer att behövas 2 delintervall och därmed 2 polynom p₁ och p₂:

$p_1(x) = a_1 + b_1(x-3)+c_1(x-3)^2+d_1(x-3)^3$

$p_2(x) = a_2 + b_2(x-5)+c_2(x-5)^2+d_2(x-5)^3$

Detta ger 8 obekanta, vilket innebär att 8 ekvationer behövs för att lösa ekvationssystemet.

Splinen måste stämma överens med funktionerna i noderna vilket ger:

$6=p_1(3)=a_1$

$1=p_1(5)=a_1 +2b_1+4c_1+8d_1$

$1=p_2(5)=a_2$

$4=p_2(7)=a_2+2b_2+4c_2+8d_2$

Dessutom måste första och andra derivatan av p₁ och p₂ stämma överens med den gemensamma noden x=5:

$p'_{1}\left( x \right)=b_{1}+2c_{1}\left( x-3 \right)+3d_{1}\left( x-3 \right)^{2}$

$p'_2(x)=b_2+2c_2(x-5)+3d_2(x-5)^2$

$p_1''(x)=2c_1+6d_1(x-3)$

$p_2''(x)=2c_2+6d_2(x-5)$

$p_1'(5)=b_1+4c_1+12d_1=b_2=p_2'(5)$

$p_1''(5)=2c_1+12d_1=2c_2=p_2''(5)$

De 2 sista ekvationerna fås av punkterna som utgör intervallgränserna, där funktionernas andraderivata kan användas:

$p_1'' (3)= 0 = 2c_1$

$p_2'' (7)= 0 = 2c_2+12d_2$

Tillsammans bildar de 8 ekvationerna följande ekvationssystem:

$6=a_1$

$1=a_1+2b_1+4c_1+8d_1$

$1=a_2$

$4=a_2+2b_2+4c_2+8d_2$

$0=b_1+4c_1+12d_1-b_2$

$0=2c_1+12d_1-2c_2$

$0=2c_1$

$0=2c_2+12d_2$

Svaret blir:

En kubisk spline med noderna i blått (ur Exempel)

$a_1=6$

$b_1=-\frac{7}{2}$

$c_1=0$

$d_1=\frac{1}{4}$

$a_2=1$

$b_2=-\frac{1}{2}$

$c_2=\frac{3}{2}$

$d_2=-\frac{1}{4}$

Vilket resulterar i:

$S(x)=\left\{\begin{matrix} 6-\frac{7}{2}(x-3)+\frac{1}{4}(x-3)^3, 3 \le x \le 5\\ 1-\frac{1}{2}(x-5)+\frac{3}{2}(x-5)^2-\frac{1}{4}(x-5)^3, 5 \le x \le 7\end{matrix}\right.$