Stegfunktion

En stegfunktion eller trappfunktion är en styckvis konstant funktion. I definitionen nedan är ser man att stegfunktioner kan uttryckas som ändliga linjärkombinationer av mycket enkla funktioner.

Trappfunktioner används vid definitionen av Riemannintegralen.

Definition

En funktion $f(x)$ är en stegfunktion om det finns reella tal $x_0, x_1, ..., x_n, \alpha_1, ... ,\alpha_n$ och funktioner $p_1(x), p_2(x), ..., p_n(x)$ sådana att

• $x_0 < x_1 < ... < x_n$
• $p_i(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & om \;x<x_{i-1} \\ 1, & om \;x\geq x_i \end{matrix}\right.$
• $f(x) = \sum_{i=0}^n \alpha_i \cdot p_i(x)$

Detta kan även formuleras som att $f(x)$ kan skrivas

$\sum_{i=0}^n a_i\chi_{I_i}$

där $\chi_{I_i}$ där är indikatorfunktionen för intervallet $I_i$.

Enhetsstegfunktionen

Heavisides stegfunktion.

Ett exempel på en stegfunktion är enhetsstegfunktionen eller Heavisides stegfunktion eller Heavisidefunktionen. Det är den funktion $u(x)$ (även betecknad H(x), $\chi(x)$ eller $\theta(x)$) som antar värdet 0 då $x < 0$ och värdet 1 då $x > 0$ (vad den antar för värde i $x=0$ är oftast oväsentligt och definieras därmed endast om så behövs).

Ibland används omskrivningen att $H(x) = 1/2(\sgn x + 1)$, där sgn är signumfunktionen.

Se även

• Enkel funktion