Stegfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En stegfunktion eller trappfunktion är en styckvis konstant funktion. I definitionen nedan är ser man att stegfunktioner kan uttryckas som ändliga linjärkombinationer av mycket enkla funktioner.

Trappfunktioner används vid definitionen av Riemannintegralen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En funktion f(x) är en stegfunktion om det finns reella tal x_0, x_1, ..., x_n, \alpha_1, ... ,\alpha_n och funktioner p_1(x), p_2(x), ..., p_n(x) sådana att

  • x_0 < x_1 < ... < x_n
  •  p_i(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & om \;x<x_{i-1} \\ 1, & om \;x\geq x_i \end{matrix}\right.
  • f(x) = \sum_{i=0}^n \alpha_i \cdot p_i(x)

Detta kan även formuleras som att f(x) kan skrivas

\sum_{i=0}^n a_i\chi_{I_i}

där \chi_{I_i} där är indikatorfunktionen för intervallet  I_i .

Enhetsstegfunktionen[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Heavisides stegfunktion
Heavisides stegfunktion.

Ett exempel på en stegfunktion är enhetsstegfunktionen eller Heavisides stegfunktion eller Heavisidefunktionen. Det är den funktion u(x) (även betecknad H(x), \chi(x) eller \theta(x)) som antar värdet 0 då x < 0 och värdet 1 då x > 0 (vad den antar för värde i x=0 är oftast oväsentligt och definieras därmed endast om så behövs).

Ibland används omskrivningen att H(x) = 1/2(\sgn x + 1), där sgn är signumfunktionen.

Se även[redigera | redigera wikitext]