Stel kropp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En stel kropp har sex frihetsgrader.

En stel kropp är inom klassisk mekanik en kropp som ej kan deformeras. Trots att det inte finns något material vari stela kroppar kan realiseras, är begreppet mycket användbart, speciellt som en modell för kroppar vars deformation är försumbar. Detta beror till stor del på att beskrivning och analys av mekaniken hos en stel kropp är avsevärt förenklad jämfört med mekaniken hos en flexibel eller deformabel kropp. Rörelsen hos stela kroppar studeras inom området stela kroppars dynamik.

Avståndet mellan två punkter i en stel kropp kan aldrig förändras.

I hållfasthetsläran kan en stel kropp beskrivas som att den har oändlig elasticitetsmodul.

Stelkroppsrörelse[redigera | redigera wikitext]

Om man betraktar två punkter på en stel kropp C och D så finns det vissa begränsningar hur dessa två punkter kan röra sig i förhållande till varandra för att kroppen ska utföra en stelkroppsrörelse eftersom avståndet mellan dem |\bar r_{D/C}| måste vara konstant. Om \bar r_{D/C} är lägesvektorn till D sett från C (eller relativt C) och tidsderivatan \dot \bar r_{D/C} säger hur denna vektor förändrar sig, så fås dessa två restriktioner:

  1. \bar r_{D/C} \perp \dot \bar r_{D/C}
  2. \dot \bar r_{D/C} = \bar \omega \times \bar r_{D/C}

där \bar \omega är rotationen för kroppen, kallas vinkelhastighetsvektorn.

Hastighet- och accelerationssamband[redigera | redigera wikitext]

Mellan två punkter C och D på en stel kropp kan man finna samband mellan dess hastigheter och accelerationer:

  • \bar v_D = \bar v_C + \bar \omega \times \bar r_{D/C}
  • \bar a_D = \bar a_C + \bar \alpha \times \bar r_{D/C} + \bar \omega \times (\bar \omega \times \bar r_{D/C})

där \bar \alpha = \dot \bar \omega är kroppens vinkelacceleration.

Plan rörelse[redigera | redigera wikitext]

Ofta kan man räkna på att en stelkropp utför en plan rörelse, vilket ger mycket enklare beräkningar än om man låter kroppen tumla runt fritt. En stel kropp utför en plan rörelse om det existerar ett plan sådant att alla punkter i kroppen behåller sitt avstånd till detta plan hela tiden. Ett sådant plan kallas rörelseplan. Man kan till exempel tänka sig ett tavelsudd som dras mot en whiteboard. Kroppen kan rotera och translatera längs med planet, men får inte distansera sig därifrån.

Problemexempel[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av denna teori kan man lösa stelkroppsproblem med så kallad hastighets- och accelerationsanalys. Ett sådant problem kan typiskt vara uppställt med två metallstänger som är ihopsatta med en sprint, där den ena stången har en fix ände och den andras ände kan röra sig fritt längs ett spår. Sedan ska man bestämma åt vilket håll den andra stången kommer att rotera om den första låts rotera medurs eller moturs.

Momentancentrum[redigera | redigera wikitext]

För en stel kropps plana rörelse kan man prata om momentancentrum, det vill säga den punkt som vid en viss tidpunkt utgör centrum för kroppens rotation. Hastigheten i denna punkt är noll. Om man låter ett hjul rulla utan glidning mot ett fast underlag kommer den nedersta punkten, kontaktpunkten, som tar i underlaget att stå stilla och utgöra momentancentrum. Detta kan motiveras eftersom glidning skulle inträffa om kontaktpunkten haft en annan hastighet än underlaget.

Om två punkter C och D har kända hastigheter kan man grafiskt räkna ut var momentancentrum, M, ligger.

Stela kroppars dynamik[redigera | redigera wikitext]

Klassisk mekanik innehåller ett specialområde som beskriver translationer och rotationer för stela kroppar. På 1700-talet gav Leonhard Euler detaljerade analyser av allmänna fall.

Fria kroppar[redigera | redigera wikitext]

För en fri kropp kan rörelserna beskrivas som en vektorsumma av en uniform translation av kroppens masscentrum och uniforma rotationer kring masscentrum. Att masscentrum av en fri kropp utför en uniform rätlinjig rörelse beror på rörelsemängdens bevarande.

Rörelsemängdsmoment är också bevarad och det ger att även rotationerna är uniforma, det vill säga att de har konstant vinkelhastighet. Stela kroppars rotationsrörelser kan ändå se komplicerade ut på grund av att rotationer kring olika axlar inte nödvändigtvis har samma perioder. Dessa rörelser har studerats av Louis Poinsot (1777 - 1859).

Externa krafter och vridmoment[redigera | redigera wikitext]

För externa vridmoment av allmän form är Eulers ekvationer svåra att lösa. Ekvationerna blir något enklare när det finns cylindersymmetri, som i snurror och gyroskop. Vridmoment ger där precession av rotationsaxeln.

När rotationen sker längs en fast axel, kan man bortse från vinkelhastighetens vektorkaraktär. I sådana fall har sambanden för rotation en stor likhet med formlerna för rätlinjiga rörelser.

Translation Rotation
Hastighet, vinkelhastighet v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{v}{r}
Kinetisk energi E_\mathrm{kin} =\tfrac{1}{2}mv^2 E_\mathrm{kin} =\tfrac{1}{2} I \omega^2
Rörelsemängd(-smoment) p=mv \, L = I \omega \,
Kraft, vridmoment F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=m a \tau = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}= I \alpha \,

Se även[redigera | redigera wikitext]