Stokes sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Stokes sats, efter George Gabriel Stokes, säger att för varje kontinuerligt deriverbar funktion F gäller, då C=δS är en sluten kurva i rummet, följande:

  1. \oint_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}={\iint}_S\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{S}={\iint}_S\mbox{rot }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
    eller
    \oint_{C}{P}dx+{Q}dy+{R}dz={\iint}_S\left(R_y'-Q_z'\right)dydz+\left(P_z'-R_x'\right)dzdx+ \left(Q_x'-P_y'\right)dxdy
  2. \oint_{C}{\mathbf{F}\times d\mathbf{r}}=-{\iint}_{S}{\left(d\mathbf{S}\times\nabla\right)\times\mathbf{F}}
  3. \oint_{C}{\Phi d\mathbf{r}}={\iint}_{S}{\left(d\mathbf{S}\times\nabla\right)\Phi}

I differentialgeometri använder man sig av en formalism som tillåter de ovanstående likheterna att skrivas som en enda likhet

\int_{C}\omega = \int_{S}d\omega

där ω är en differentialform, och d är den yttre differentialen, och alla integraler är tagna lämpligt antal gånger. Den stora vitsen med detta uttryck är att det omedelbart generaliserar till högre dimensioner, då är S ett n-dimensionellt område och C är dess rand. Likväl så gäller samma formel i en dimension om man med integralen över en 0-dimensionell mängd syftar på funktionsevaluering och tänker på att randen av ett intervall är två punkter. Detta specialfall är den välkända analysens fundamentalsats. Ett annat specialfall är Greens sats.