Students t-fördelning

Students t-fördelning eller t-fördelning är en statistisk fördelning som används främst för att testa signifikans för undersökningar med små populationer.

Historik

T-fördelningen utvecklades av statistikern och kemisten William Sealy Gosset som arbetade på bryggeriföretaget Guinness i Storbritannien. Han använde fördelningen för att kunna göra kvalitetskontroll av ölen med begränsade stickprov. För att inte avslöja användningsområdet för denna industriella tillämpning publicerade han sina resultat under pseudonymen Student. Statistikern Ronald Fisher utökade senare teorin med den täthetsfunktion som används i dagens beräkningar.

Uppkomst

Antag att X₁, ..., X_n är statistiskt oberoende slumpmässigt utvalda variabler som är normalfördelade med ett väntevärde μ och variansen σ². Låt

$\overline{X}_n = (X_1+\cdots+X_n)/n$

vara det uppmätta medelvärdet och

${S_n}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2$

vara den uppmätta variansen. Det går då att visa att kvantiteten

$Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1 (vilket kan skrivas N(0,1)), eftersom det uppmätta medelvärdet $\overline{X}_n$ är normalfördelat med medelvärdet $\mu$ och standardavvikelsen $\sigma/\sqrt{n}$. Gosset studerade en relaterad kvantitet,

$T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}}$

och visade att T har täthetsfunktionen

$f(t) = \frac{ 1 }{ \sqrt{(n-1)\pi} } \, \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \, \frac{1}{ \left( 1 + \frac{ t^2 }{ n-1 } \right)^{ \frac{ n }{ 2 } } }, \qquad -\infty < t < \infty$.

Fördelningen av T kallas nu för t-fördelningen med $n-1$ frihetsgrader och betecknas vanligen $t_{n-1}$. Fördelningen beror på stickprovsstorleken $n$, men inte på $\mu$ eller $\sigma$; oberoendeförhållandet gentemot $\mu$ och $\sigma$ är vad som gör t-fördelningen viktig i såväl teori som praktik. Symbolen $\Gamma$ betecknar den så kallade Eulers gammafunktion och är en generalisering av den så kallade fakultets-funktionen $n! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n$ till att gälla reella tal; exempelvis är $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ och $\Gamma(n+1) = n!$ då $n$ är ett positivt heltal.

Tabell över utvalda värden

Följande tabell är en lista över t-fördelningen med ν frihetsgrader för 90%-, 95%-, 97.5%- och 99.5%-iga "en-sidiga" konfidensintervall.

Notera den sista raden med oändligt många frihetsgrader som ger en avgörande poäng: en t-fördelning med oändligt många frihetsgrader är en normalfördelning i enlighet med centrala gränsvärdessatsen.

$\nu$	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
$\infty$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

Källor

• Engelska Wikipedia