Supremum

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Supremum till en mängd av reella tal är mängdens minsta övre begränsning. Generellt tillhör supremumvärdet mängden eller är åtminstone ett gränsvärde av en talföljd i mängden.[1] Supremum för en mängd A, betecknas med sup A och definieras som det minsta reella tal, som är större än eller lika med varje tal i A. Supremum kallas ibland även minsta majorant.

Satsen: Varje icke-tom mängd av reella tal som har en övre begränsning, har en minsta övre begränsning, kallas för fullständighetsaxiomet och är ett av de axiom som ingår i konstruktionen av de reella talen.[2]

En vanlig generalisering av supremum till godtyckliga delmängder av \mathbb R ges av att man låter \sup\varnothing = -\infty, där \varnothing är den tomma mängden och \sup U = \infty om U inte är uppåt begränsad.

Varje mängd av reella tal har på motsvarande sätt även en största undre begränsning, som kallas mängdens infimum.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Formellt kan man skriva det som, för en mängd A\subseteq X, med linjär ordning \leqslant:

Låt M_A := \{x\in X : \forall a\in A : a\leqslant x\}. Då gäller

x_0 = \sup A \iff x_0\in M_A \land (\forall x\in M_A : x_0\leqslant x) \iff x_0 = \min M_A

(Där minimumet existerar precis då supremumet gör det)

Supremumegenskapen[redigera | redigera wikitext]

Man säger att en ordnad mängd  S har supremumegenskapen om varje icke-tom uppåt begränsad delmängd till  S har ett supremum (som också ligger i S).

De naturliga talen (\mathbb N) och de reella talen (\mathbb R) har supremumegenskapen. En mängd som inte har supremumegenskapen är de rationella talen (\mathbb Q ). Ett exempel på en delmängd i  \mathbb{Q} som inte har ett supremum är:

 A = \{x \in \mathbb{Q}: x^2<2\}

Dvs, alla tal vars kvadrat är mindre än 2. Att hitta ett rationellt supremum till den här mängden är omöjligt. Det är lätt att hitta en övre gräns, vilket positivt tal vars kvadrat är större än 2 går bra. Säg nu att man väljer ett rationellt tal som är en övre gräns. Då kan det omöjligtvis vara den minsta översta gränsen, då \sqrt{2} är ett irrationellt tal. Man kan då, oberoende av vilket rationellt tal man valt som övre gräns, alltid hitta ett mindre rationellt tal som också är övre gräns. Detta kan visas mer strikt genom att man antar att man har en godtycklig övre gräns för  A , kallad  p och  p^2 > 2 . Då är även följande q en övre gräns till  A :

 q = \frac{2p+2}{p+2}
q<p \Leftrightarrow \frac{2p+2}{p+2}-p<0 \Leftrightarrow \frac{2p+2 - p(p+2)}{p+2}<0 \Leftrightarrow \frac{2-p^2}{p+2}<0

Vilket är sant då  p^2 > 2 . För att se att  q är en övre gräns:

q^2 - 2 = \left(\frac{2p+2}{p+2}\right)^2 - 2 = \frac{4p^2 + 8p + 4-2p^2-8p-8}{(p+2)^2}=\frac{2p^2-4}{(p+2)^2}>0

 p^2 > 2 är  2p^2 - 4 > 2*2-4 = 0 . Alltså är  q en övre gräns till  A som är mindre än  p .

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Eike Petermann, Analytiska metoder, Studentlitteratur, Lund 1987.
  • Hyltén-Cavallius, Sandgren, Matematisk Analys I, Håkan Ohlssons boktryckeri, Lund 1962.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume I, Springer-Verlag, New York 1965.
  2. ^ H.L. Royden, Real Analysis, The MacMillan Company, Collier-MacMillan Limited, Princeton 1963.
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.