Svag konvergens

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Svag konvergens är ett matematiskt begrepp i funktionalanalys och syftar på en speciell typ av konvergens i Banach- och Hilbertrum.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En följd av punkter x_n i ett Banachrum X sägs konvergera svagt till x om

\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)

för alla begränsade linjära funktionaler f, dvs alla f i dualrummet X'.

Att x_n konvergerar svagt till x skrivs:

x_n \rightharpoonup x

Speciellt kan man i ett Hilbertrum H uttrycka svag konvergens som att x_n konvergerar svagt till x om

\lim_{n \to \infty} \langle x_n, y \rangle = \langle x, y \rangle

för alla y i H, där \langle \cdot , \cdot \rangle är den inre produkten. Detta kommer av att varje linjär begränsad funktional i ett Hilbertrum kan representeras med hjälp av den inre produkten och ett y i H som ovan, enligt Riesz representationssats.

Svag kontra stark konvergens[redigera | redigera wikitext]

Svag konvergens kan jämföras med det vanliga konvergensbegreppet, stark konvergens eller konvergens i norm. En följd x_n i ett Banachrum sägs konvergera stark till x om

\lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0

där \|\cdot\| är normen i Banachrummet. Dessa två konvergensbegrepp definierar två olika topologier på rummet. Topologin inducerad av svag konvergens kallas svag topologi.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om en följd x_n konvergerar svagt till x kan man visa att många egenskaper som gäller för starkt konvergenta följder gäller även för x_n:

  • Gränsvärdet x är unikt.
  • Varje delföljd av x_n konvergerar svagt till x.
  • Följden \|x_n\| är begränsad.
  • Om y_n \rightharpoonup y gäller att \alpha x_n + \beta y_n \rightharpoonup \alpha x + \beta y.

Stark konvergens implicerar svag konvergens:

x_n \to x \Rightarrow x_n \rightharpoonup x.

Det omvända gäller i ändligtdimensionella vektorrum, men inte i allmänhet. En svagt konvergent följd behöver alltså inte vara starkt konvergent men om den är det så är det svaga och starka gränsvärdet samma.

Om xn konvergerar svagt till x gäller

 \| x \|  \leq \liminf_{n \to \infty} \| x_n \|.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Conway, John (1985). A Course in Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-96042-2