Sylows satser

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Sylows satser är en samling matematiska satser inom gruppteori uppkallade efter Ludwig Sylow[1] . Sylows första sats ger ett tillräckligt villkor för att en ändlig grupp ska ha en undergrupp av ordning p^m där p är ett primtal. Sylows andra sats säger att två p-Sylowundergrupper är konjugerade och Sylows tredje sats uttalar sig om antalet p-Sylowundergrupper.

Sylows satser och p-Sylowundergrupper är mycket viktiga inom ändlig gruppteori, speciellt inom klassificering av ändliga enkla grupper. På sätt och vis är Sylows satser en omvändning till Lagranges sats.

p-Sylowundergrupper[redigera | redigera wikitext]

För ett primtal p är en p-grupp en grupp sådan att varje element i gruppen har ordning som är en potens av p. Dvs, om g är ett element i gruppen finns ett tal p^m så att g^{p^m} är identitetselementet. En p-undergrupp till en grupp G är en undergrupp som är en p-grupp.

En p-Sylowundergrupp H är en maximal p-undergrupp, dvs en p-undergrupp sådan att det finns någon annan p-undergrupp som innehåller H.

Sylows satser[redigera | redigera wikitext]

Sylows första sats[redigera | redigera wikitext]

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal och p^m delar |G| så finns en undergrupp i G av ordning p^m.

En enkel följdsats av den här satsen är Cauchys sats: För varje ändlig grupp G och varje primtal p som delar |G| så finns ett element i G med ordning p.

Sylows andra sats[redigera | redigera wikitext]

För en ändlig grupp G och ett primtal p, så är alla p-Sylowundergrupper i G konjugerade (och därför isomorfa), dvs om H och K är p-Sylowundergrupper finns ett element g i G så att H = gKg^{-1}.

Sylows tredje sats[redigera | redigera wikitext]

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal som delar |G| och n_p är antalet p-Sylowundergrupper i G så är n_p en delare till |G| och n_p \equiv 1 \mod p.

Följder[redigera | redigera wikitext]

Sylows satser implicerar att för varje primtal p så är varje p-Sylowundergrupp av samma ordning, p^n, och omvänt så är varje delgrupp av ordning p^n en p-Sylowundergrupp.

Sylows tredje sats implicerar att om n_p=1 så är p-Sylowundergruppen till G en normal delgrupp.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Låt G vara en grupp med ordning 15 = 3 · 5. Sylows tredje sats ger att n_3 måste dela 5 och vara 1 (mod 3), vilket ger att n_3 = 1. Alltså finns endast en undergrupp av ordning 3 och den är normal. På samma sätt får man att det bara finns en undergrupp av ordning 5 och att även den är normal. Då 5 och 3 är relativt prima så är snittet mellan undergruppen trivialt, vilket ger att G är den inre direkta produkten av grupper av ordning 3 och 5, dvs den cykliska gruppen av ordning 15. Alltså finns, upp till isomorfi, endast en grupp av ordning 15.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Ludwig Sylow (1872). ”Théorèmes sur les groupes des substitutions”. Mathematische Annalen "5": sid. 584-594. http://www.springerlink.com/content/u4v5u2273530123r/fulltext.pdf.