Sylvesters sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Sylvesters sats är en matematisk sats uppkallad efter matematikern James Joseph Sylvester som lyder Om man har en ändlig punktmängd i planet, P, där alla punkter inte ligger längs en linje så finns det en linje som skär exakt två punkter.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Figur 1: Vårt valda par (p , l)
Figur 2: Motsägelse, då B < A

Bildar mängden L som är mängden av alla linjer i planet som skär minst två punkter i P. Tar sedan ett par (p , l), där p är en punkt i P, l är en linje i L och där l inte går igenom p, så att avståndet mellan p och l är det minsta möjliga.

Påstår att om vi valt rätt p och l enligt ovan så kommer l att skära exakt två punkter och satsen skulle därmed vara uppfylld.

Om l inte skär två punkter så måste den skära fler punkter i P. Om vi väljer l och p där l går genom exempelvis tre punkter, se figur 1. Då uppstår en motsägelse i och med att om vi istället tar linjen m och punkten q enligt figur två så blir avståndet A större än avståndet B och därmed uppfyller inte (p , l) kravet på att de skulle ha minsta möjliga avstånd mellan dem.