Sylvesters sats

Sylvesters sats är en matematisk sats uppkallad efter matematikern James Joseph Sylvester som lyder Om man har en ändlig punktmängd i planet, $P$, där alla punkter inte ligger längs en linje så finns det en linje som skär exakt två punkter.

Bevis

Figur 1: Vårt valda par $(p,l)$

Figur 2: Motsägelse, då $B<A$

Bildar mängden $L$ som är mängden av alla linjer i planet som skär minst två punkter i $P$. Tar sedan ett par $(p,l)$, där $p$ är en punkt i $P$, $l$ är en linje i $L$ och där $l$ inte går igenom $p$, så att avståndet mellan $p$ och $l$ är det minsta möjliga.

Påstår att om vi valt rätt $p$ och $l$ enligt ovan så kommer $l$ att skära exakt två punkter och satsen skulle därmed vara uppfylld.

Om $l$ inte skär två punkter så måste den skära fler punkter i $P$. Om vi väljer $l$ och $p$ där $l$ går genom exempelvis tre punkter, se figur 1. Då uppstår en motsägelse i och med att om vi istället tar linjen $m$ och punkten $q$ enligt figur två så blir avståndet $A$ större än avståndet $B$ och därmed uppfyller inte $(p,l)$ kravet på att de skulle ha minsta möjliga avstånd mellan dem.