Symmetrisk grupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.

De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med Sn. Sn har n! element. Endast för n ≤ 2 är Sn abelsk.

För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har Sn endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen An, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S4 har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.

Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen g\mapsto(h\mapsto gh).

Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.

Notation[redigera | redigera wikitext]

En permutation f av en ändlig mängd M kan noteras som en tabell, där första raden är en listning av M och andra raden består av bilderna av motsvarande element på första raden.

\begin{bmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\\f(x_1)&f(x_2)&\dots&f(x_n)\end{bmatrix}

En annan notation är den så kallade cykliska notationen, där varje element skrivs som en produkt av cykler

(x\ f(x)\ f^2(x)\ \dots\ f^{n-1}(x))

där f^n(x)=x. Cykler av längd ett brukar utelämnas som underförstådda.

Exempel: \begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{bmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 6\end{pmatrix}.

Nedan ges en listning av alla element i S_3 i de båda notationerna.

\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}

()

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

Presentation[redigera | redigera wikitext]

En presentation av den symmetriska gruppen Sn ges av generatorerna σ1, σ2, ..., σn-1 och relationerna:

  • \sigma_i^2 = 1 \,
  • \sigma_i \sigma_j = \sigma_j \sigma_i \quad \textrm{om} ~~ j \neq i \pm 1
  • \sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i = \sigma_{i+1} \sigma_i \sigma_{i+1} \,