Tätpunkt

Tätpunkt är ett begrepp inom måtteori. Tätpunkter är punkter som har mycket "massa" i sin omgivning.

Formell definition

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu ,d)$ vara ett metriskt måttrum så att måttet $\mu \,$ är Borel. För $A\in {\mathcal {F}}$ och $x\in X$ beteckna A:s yttre täthet i x som

${\overline {\Theta }}_{\mu }(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}},$

och A:s inre täthet i x som

${\underline {\Theta }}_{\mu }(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}}.$

där $B_{r}(x)\,$ är en boll med avseende på metriken $d\,$.

Mängden A har en täthet i x om

$\Theta _{\mu }(A,x):={\underline {\Theta }}_{\mu }(A,x)={\overline {\Theta }}_{\mu }(A,x).\,$

En punkt $x\in X$ är en tätpunkt om

$\exists \Theta _{\mu }(A,x)=1.$

Motivationen för talet 1 ovan är att till exempel med Lebesguemåttet är tätheten

$0\leq \Theta _{{\mathcal {L}}_{n}}(A,z)\leq 1,$

för alla $z\in \mathbb {R} ^{n}$.

Tillämpningar

• En måtteoretisk rand är definierad med hjälp av tätpunkter.

• Lebesgues tätpunktsats säger att nästan alla punkter i en Lebesguemätbar mängd är tätpunkter.

s-dimensionella tätpunkter

Om $(X,d)\,$ är ett separabelt metriskt rum och $s\geq 0$ är för $A\in {\mbox{Bor}}\,X$ och $x\in X$ A:s s-dimensionella yttre täthet i x

${\overline {\Theta }}^{s}(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {{\mathcal {H}}^{s}(A\cap B_{r}(x))}{r^{s}}},$

och A:s inre täthet i x

${\underline {\Theta }}^{s}(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {{\mathcal {H}}^{s}(A\cap B_{r}(x))}{r^{s}}},$

där ${\mathcal {H}}^{s}$ är s-dimensionellt Hausdorffmåttet.

Mängden A har en s-dimensionell täthet i x om

$\Theta ^{s}(A,x):={\underline {\Theta }}^{s}(A,x)={\overline {\Theta }}^{s}(A,x).\,$

En punkt $x\in X$ är en s-dimensionell tätpunkt för A om

$\exists \Theta ^{s}(A,x)=1.$

Om $X=\mathbb {R} ^{n}$ och $s=n\,$ är

$\Theta ^{n}=\Theta _{{\mathcal {H}}^{n}}.$

Å andra sidan när $s\neq n\,$ finns det många Borelmängder A och punkter x när

$\Theta ^{s}(A,x)\neq \Theta _{{\mathcal {H}}^{s}}(A,x),$

eftersom

${\mathcal {H}}^{s}(B_{r}(x))={\begin{cases}+\infty &{\mbox{om }}s<n\\0&{\mbox{om }}s>n\end{cases}},$

d.v.s. Hausdorffdimensionen för $B_{r}(x)\,$ är n.

s-dimensionella tätpunkter har tillämpningar i geometrisk måtteori.

Se även

• Måtteori

Referenser

• Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991